Développement de sin x en produit infini. — On a

(cos z 4- i sin z)2tt+l ■= cos (2n -f 1) s 4- * sin (2*i h 1) *■

Effectuons la puissance indiquée et égalons ensuite les parties imaginaires des deux membres de l'identité; il vient

sin (2^ 4- ])£ = C20+-cos2n^-Cln+iCOS2n-24rsin2^4-... h(— l)nsin*n sin ô

Si l'on remplace cos2 z par 1 — sin2 z, le second membre de la dernière égalité prend la forme

A sin2n s 4- B sin2"-2 z 4- ... -f K sin2 z + (2n + 1). (1)

Tl est facile de déterminer les 2n valeurs de sin z qui annulent le polynôme (1). En effet, les valeurs correspondantes de z doivent annuler sin (2n -Kl) z; on obtient donc toutes les valeurs distinctes de sin z en posant

(2» 4- 1)*= ± «, ± 2-, ... ± rot,

(*) Le théorème subsiste encore lorsque les quantités an ac2, ... étant imaginaires, leurs modules forment une série convergente.

de sorte que les racines du polynôme (1) sont

± sin - ± sin :--»... }- sin - ---»

et ce polynôme est équivalent à

A(si„=,sin^;/;i)(sin--sin=2j;;i)...(sin-si„=y;î f)

Si l'on convient de désigner le produit /'(/>) /'(/> f- 1) ... /"((/), où p et 7 sont des entiers positifs, par 1 /"(/«), on ])eu< transformer la dernière expression en

11 \ sin

Le produit des valeurs de sin z qui annulent le polynôme (1)

est

(— 1)" sin

par conséquent

"n(2^M)^(2,-hi.ir'i--^u2? ,2.

sme | li . m- • U)

sin- y

Posons maintenant (2/! j- l)r — .v, a* étant un nombre donné; la relation (2) devient

/ sin2 X- N

sin * = (2n + 1) sin — ? -T [" ( 1 — 2- ±i Y (3)

Si ;? croît indéfiniment,

hni (2n -f- 1 sin- - . = oc, lim = - >

si n2

et la formule (3) devient

Bin«..«| | fl-J^J- (4)

Mais un complément de démonstration est nécessaire, car le nombre des facteurs du produit (3) a varié avec n.

Soit p un nombre entier fixe, plus grand que x et (pie .v-\ et supposons n plus grand que p. Faisons

sin

2n + V l'équation (3) prend la forme

sur

sin-

sina: = (2»+ l)sin ' , , ■ QQ'.

Los ares

2/i -fi

sont plus petits (pie t -> et le pre-

mier est plus petit que le second; par conséquent i'16)

^ Sill%,+ 1

sm-

sm a

Or, lorsque « croît de 0 à~> le rapport ' -» dont la dérivée est négative, décroît constamment de 1 à~< ^ on résulte sin 7. > " * > et l'inégalité (0) subsiste à plus forte raison quand

on remplace rin.g-^par ^ ^ et sin — + ^ par ^ f } Donc

Observons maintenant que

,oo

~i' I ' m2 x p l ] (m — \)m ^ *•+' \wi — 1 wy par suite. 6 désignant un nombre compris entre 0 et 1,

l'égalité (5) est ainsi ramenée à

En passant a La limite pour n = oo ou trouve