ne

tend vers une limite finie. On trouve facilement

Si u représente la quantité (1 | ) , on a (129)

ht —

Tl en résulte d'abord In > 1, donc ?z > c et ®(/i) > v(n -f- 1); ainsi »(n) décroît constamment quand /* croît. D'autre part, de l'égalité (4) on conclut encore

ïï + »

3L(2m -1- l)2 (2n+ lj d'où en sommant la progression entre crochets :

'" < ' + Î2n(n + 1) ' puis en remontant à la relation (3) :

is;

Or, , — rî l'inégalité (5 peut donc s'écrir<

i Par conséquent, le produit <p(/i)e ' croît avec // ; comme il

est inférieur à <p(;i) (il par suite à <p(l), il tend vers une limite

ïinie. cp(/i) tend vers la même limite, car lim e l2a = 1. Cela pose, on tire de (2) :

f[») (\.2.3...n)'222n+l ?(2w) 1.2.3 ..2n. V2n' et comme lim &(/i) = lim rf(2ft), cette égalité donne

lim '<&(») = lim . -• <»

Or, la formule de Wallis (421),

2"aï" 3* 3-' 5* 5* 7 "'2^-^!' 2 ^ + 1 '

peut être écrite ainsi :

x/ô or 2.4.ô...2w

\ J- = 2 lim — 7= —

or (2. 4. 6. ..2n)»

= 2 lllll J=r

= lim 2^n ' ' 7—" ' (')