Développement de ^Z\ ~~ Posons

^-~ï = Bo + B^+ 1>2 r^l-- (1)

(*) En remplaçant cx — 1 par' -k | 9 Q + ... et simplifiant

ensuite par .v, on voit cpie la fonction et ses dérivées successives

1 cx — 1

sont finies et continues pour toutes les valeurs de x ; par suite cette fonction étant developpable par la formule de Mac-Laurin, on peut poser

l'égalité (1 1

et multiplions membre à membre cette égalité par la suivante :

CI-1=*+1.2+1.2.3+" Le produit des premiers membres est égal à

x i X~ i XZ I

Le coefficient de tvn, dans le produit des seconds membres, est

ni ' (n — 1)! ' 2\{n — 2)\

B0 + j B, + "f'J -i-' P>, + ... |- „!}„! -f Bn - B„

si on traite les indices de B comme des exposants et qu'on observe que B0 = 1, il prend la forme symbolique

Jj f(l + B)n-B"];

comme il doit être égal au coefficient de xn dans la série (3), on a

(1 -r-B)n — Bn - ». (-1)

L'égalité (4) sert à déterminer les nombres B. Par exemple, si on fait n = 2, 3, on trouve

1+ 2Bj + B2 — B2 = 2, d'où Bi = l ,

1 4- 3Bi + 3B2 = 3,

d'où B„ =

425. Nombres de Bernoulli. — Les nombres B, qui se présentent dans un grand nombre de questions, sont appelés nombres de Bernoulli. Ils sont définis par l'égalité symbolique (4.

Les nombres de Bernoulli, à indice impair, sont nuls à

l'exception de Bx = 0- En effet, si on transpose le terme l^.v, la formule (1) devient

oc(ex+ 1) 2(ex — 1)

le premier membre étant une fonction impaire, on a

B3 = 0, B5-0, etc.

Voici les valeurs des premiers nombres de Bernoulli :

Bl=-, B8 = g, 8,= -^. B6 = jr B8=-l,

1!'»--66' I,li = ~2730' B'<=6' B'6 = 510 ' ClC-

En tenant compte des relations Bt = ~> B3 = 0, B5 = 0, etc.,

on voit facilement que l'égalité de définition peut encore s'écrire, pour ;i pair :

Bn — (B — l)n -0, (B -f l)n — (B — l)n = n.

Remarquons aussi les formules symboliques

426. Somme des puissances semblables des nombres naturels. — Les nombres de Bernoulli se présentent dans le calcul des sommes

Sp = ip + 2p + 3p + ... +nP.

En effet,

^=1+2^+2^; + ...+2pj';+...

d'où

eM ! +„ + M2 + ... + „P + ... .

+ ^ + ... + <- = i + s, ^ + s2|5 + ... + Spj; + ...

Le premier membre de cette égalité étant mis sous la forme ex -— , > on en peut aussi obtenir le développement en série en multipliant membre les égalités

pnx — 1 7izx n3x2 n^x*

Dans le produit des seconds membres, le coefficient de (vp est

" {/H-l)![ ou symboliquement

+*4^*b1 h«?^f^iB,+;.+^»B«a

(« h B)p+] — Bp ' •

11 est égal au coefficient de .v1' dans le premier développement ; doue

s (w H- B)p+] — BpH >