Définition de la dérivée. Etant donnée une fonction

y — F .Y), soient .v. .v, doux valeurs de la variable appartenant

à un intervalle où la fonction est continue: soient y — F(ïv),

)'j = V{xl) les valeurs correspondantes de la fonction. Les

différences xl — x, y, — y sont appelées les accroissements de

.v et y quand on passe du système de valeurs («v. y) au système

(.y,, y,): on les désigne respectivement par les lettres /?,/»• ou

par la notât ion A,y, Ay.

Si, laissant x fixe, on fait tendre A.v vers zéro, Ay tend égale-

Av ment vers zéro; mais. le rapport * tend, en gênerai, vers une

limite déterminée. Cette limite dépend de la nature de la fonction Ff.vi et, en général, de la valeur fixe x ; c'est une nouvelle l'onction de a1, qu'on appelle la dérivée de Fi.v) et qu'on représente par l'une des notations

y, F'O), Dy, DF(a?).

Ainsi, la dérivée d'une fonction est In limite vers laquelle (end le rapport entre V accroissement de cette fonction et l'accroissement de la variable, lorsque ce dernier tend vers zéro. On peut donc écrire

„,/ x ,- ^ ,. Ay F(x + h) — F(x) F'(x) — lim -7 = lim '- = hm — ' — — - •

33. Exemples. — T. Soit y = axm, m étant entier positif. On a

■ =a l- - = a(œ"l~l 4- .ri" "lr 4- . ., + .r ,.^m-2 4- xm^ ) ; Aa; xx — x l

lorsque xx tend vers x, on trouve

,y Aa;

1 1. Cherchons la dérivée de y = tg x. On a

1 — tg x tg A

,, , ,. h .. t&'A,. 1 + tg2 a? , , 1

d'où hmT = hm^ hm , -Ç ^- 7 = l-ftg3,r = \ ■ A // 1 — tg^;tg// cos2^

Ainsi, la dérivée de tg x es/ égale à

cos- a;