Remarques. — I. Pour h = 0, le rapport
F(ar + h)—F(x) h
prend la l'orme indéterminée ; mais comme on vient de le voir
par des exemples, après des transformations convenables on en peut trouver la limite, c'est-à-dire obtenir la dérivée F'.v).
Neuberg. — An. Inf» I. 3.
11. A.v et Ay sont des infiniment petits, car on l'ait tendre ces quantités vers zéro. On ne peut les supposer nulles ; autrement la définition de la dérivée n'aurait plus de sens.
On verra, par un calcul direct, que les fonctions usuelles de
l'analyse ont, en général, une dérivée pour toute valeur de x.
Av Le rapport tv avant une limite finie, Ay et A.v sont du même
ordre infinitésimal : si A.v est d'infiniment petit principal, Ay est du 1er ordre.
Pour certaines valeurs de x, l'ordre de Ay peut être supérieur. Par exemple, si y = 2x3, on a
k = 2(x + /i)3 — 2jc* = 6x»~h \ (Sxh~ -|- 2h5 ;
on voit que pour x — 0, A" ayant la valeur 2ha est du "3e ordre. III. La dérivée ci nue constante est zéro. Car si Ton pose y a,
Av l'accroissement de v ('tant nul, le rapport * a la valeur cons-
tante 0.
Différentielle,
35. Définitions. — L'égalité de définition, y' = lim -* ^équivaut a
^>>/ h*, Ay = y'Aj? -L.sA.v-,
; tendant vers zéro en même temps que A.v.
Donc, si A.v est l'infiniment petit principal, Ay se compose d'un terme y'A.v qui est du premier ordre, et d'un terme sA.v qui est d'un ordre supérieur. Le terme y'A.v est ,1a partie principale de Ay ; on l'appelle la différentielle dey et on le représente par dy, de soi'te que
dy = y'\x, A y = dy \- z\x. (1 !
Pour l'uniformité de la notation nous écrivons aussi dx, au lieu de A.v, et par suite :
dy = yUlx, \ij = dy -f edx.
Ainsi : 1" La différentielle de la variable indépendante est l'accroissement arbitraire, infiniment petit, de cette variable ;
2° la différentielle de Ih fonction est le produit de la dérivée par la différentielle de la variable indépendante.
Il résulte de là une nouvelle notation pour désigner la dérivée,
à savoir f ; elle a l'avantage de rappeler l'origine de la dérivée
Ar commc étant la limite de *■ •
Aa
La différence Ay — dy étant d'un ordre infinitésimal supérieur, dy peut se substituer à A y dans la recherche de la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits (28).
36. Interprétation géométrique. — L'équation y = F (x), rapportée à deux axes OX, OY, représente une certaine courbe AMB (fig. 2). Soit M un point de la courbe, ayant pour coor-
données ()P x, PM = y ; ee point est supposé fixe. Considérons un second point M' de la courbe, ayant pour coordonnées OP' = a- h Aa, P'M' = y + Ay.
Si Aa tend vers zéro, Ay tend également vers zéro, mais le
Av rapport ' a pour limite la dérivée F'(x). Or ce rapport est le
coefficient angulaire de la sécante MM', et lorsque M' se rapproche de M, la sécante MM' tend vers une position-limite qui est la tangente MR. On en conclut que la dérivée est égale au coefficient angulaire de la tangente menée à la courbe représentative AMB, au point M (x, y).
L'existence de la dérivée entraîne celle de la tangente et réciproquement.
Les accroissements Aa, Ay sont représentés par P.P', QAL'. La différentielle dy est égale à V accroissement correspondant QR
de V ordonnée de la tangente-MR ; car le coefficient angulaire
OU QR ., . dy
de la droite M R est J*L, ou , , et il a aussi pour expression * •
37. Remarques. — Pour exprimer que le point M' peut se rapprocher de M autant qu'on vent, on dit qu'il est infiniment voisin de M .
Le segment M'R représente la différence dy — Ay : c'est donc un infiniment petit d'ordre supérieur.
La corde MM' est du premier ordre; car si 0 est l'angle des axes coordonnés, le triangle MQM' donne
M Mr = (A.r)2 f (A//)2 -f 2&x . Ay . eos 0 ;
MM' v .4 ».
d'où l'on conclut que le rapport . a une limite lime :
MMr r~ lim . VI -f-y'2 -h 2// eos 0.
La distance M'N de la tangente MT au point M' infiniment voisin de M est d'un ordre supérieur; car MX = MM' sin M'MT.
DÉRIVÉE D'UNE SOMME, l)'l'N PRODUIT, ETC.
38. Dérivée d'une somme. — La dérivée (différentielle) de la somme d'un nombre déterminé de fonctions est égale a la somme des dérivées (différentielles) de ces fonctions.
Soient n, v, w des fonctions de a\ admettant chacune une dérivée, et soit
Un accroissement A.v de .v l'ait prendre à n, v, iv, y des accroissements \u, Ajj, liv, Ay tels, que
y h Ay == u -f àlC -f v -f Ar — (tr | A/r). (2)
Des égalités (l) et (2) on déduit par soustraction et en divisant par A.v :
bk.y Au Ar \/r
Azz Par hypothèse, lorsque A.v tend vers zéro, les quotients ,
A/? Ait» . , , , Av
tendent vers des limites déterminées ?z , p , «» ; donc .-• Aa* A.v A.v
tend aussi vers une limite n' -f- v' - w' (A lg\ 91) et l'on petit poser
En multipliant par c/jc, on voit (35) que
dy = du -\- dv — dw.
Remarque. — Connue le t.héorème sur la limite d'une somme peut être en défaut lorsque le nombre des ternies croît indéfiniment, nous avons supposé ci-dessus un nombre déterminé de fonctions.
Exemple. — (Sx5 — x- -}- tg x)' = ]ox* - 2x -f - •
39. Dérivée de au. — Si u désigne une fonction de x et a une constante, la dérivée de an est au'; la différentielle est adu.
Soit y = nu. On a successivement :
A// = «(« -f- Au) — au = aAw,
A// A/' A y Aw
r^- = a -A— » lim -r— — a lini . ■ Aô: A./ Aj; Ar
y' = au', dy — ao?w.
Exemple.— (-tg •*>•) = *- —
r \5 / 5 cos- .y
40. Dérivée d'un produit. — /^a dérivée (différentielle) du produit d'un nombre déterminé de fonctions est égale à la somme des produits qu'on obtient en multipliant la dérivée (différentielle) de chaque facteur par le produit des autres facteurs.
Soit d'abord un produit de deux fonctions, y --= uv. On a successivement :
A// (u j- \u) (v -f- Ar) — //r = u\r -\- rlu -}- A^Ar,
A?/ Ar A/' . Ar
Xv Okx Aa* Aj;
,. A;/ Ar Aw Ar
lim r- = u hm . + r lim . + nm Am • '11U v ! Xv \x A.r Ar
par conséquent
y' = i(r -[- vu', dy = udr -f- vdu.
Supposons ensuite la règle établie pour un produit de n — i facteurs et démontrons qu'elle subsiste encore pour n facteurs. Soit donc
y =UXU2 ... Un-lUn.
En considérant y comme formé des deux facteurs u^u, ... un-\ et un , on a
,/ = (Ulu2 ... Un])'un + l^Mg ... "n-i"'n;
or, on suppose
(uxu2 . . wn i)' - W^Wg ... wn ï 4- 'VV'3 •• ^n i -+-•••!
par conséquent
//' = u\u2...Un \ Uy.lUz...Un 4- ... -f i(ï"y..xi.^(,n.
dy = u2..,iclLdul -\- u1u3...undu2 -}- ... -f- Wj.. ?tn . ;<V/^n.
La règle est donc générale.
Exemple. — La dérivée de (xz — 1) (.v- -\- x) tg .v est
:^%r2 -f a-Jtgj? h (2o? -f- I) (a;3 — l)tea> [- (u"> — * ' '" ' ''''•
41. Dérivée d'un quotient. — La dérivée (différentielle) du infraction est égale au dénominateur multipliée j>ar la dérivée différentielle) du numérateur, moins le numérateur multiplie par la dérivée (différentielle) du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Soit y '=■■ - î nous aurons successivement :
n -'■ Me il r\it — n\r
V V ■ \r~ r = rr + Al?)
\u Ar
A y dx A.r
En passant à la limite, puis multipliant par dx, on obtient , /•//' — uv' , vdu — udv
Exemples. — 1. // ., -
(.f:; - 1 2.r tgvr +
Il On a Vidcntitê
