II

d'où, en comparant à la relation (10) :

429. Développements de sécA* et decoséev. fonction paire, et séc 0 1 ; on peut donc poser

Sec .v est une

sec./'

i-ff*

xG

Pour déterminer les coefficients E, nous multiplions cette égalité membre à membre par la suivante

%A/ %Jj \Âj

COso; = l--T+ 4, -G!l-...

Les termes en x doivent disparaître du produit des seconds membres. Or, le coefficient de x2li est

•1 + w-DEi+ .., + E?;

en assimilant les indices de E à des exposants, il prend la forme

I'tJ!" \!F, \- ir" + (e - m

Par suite, les nombres E satisfont à l'égalité symbolique

(E + lf + (E-l)2n = 0;

on peut même poser

j) étant pair ou impair, car si l'on fait successivement p = 1, 3, 5, ..., on trouve E} = 0, E3 — 0, E5 = 0, ... Dans l'égalité (l), changeons x en xi ; il vient

Les nombres E sont appelés nombres d'Enler. On a : E2 = — 1. E4 - 5. E6 = — 61, E8 = 1385. ... Le développement de coséc x se déduit de l'identité

,x cosec x — coi - — cot x

el de la formule (10) du ^ 427; on trouve

sin x

Exercices et notes.