II. Si F .y) a des racines multiples, soit par exemple

F(-X') - (,r — r/)!' (.r — /,)'i (a? — c) ... (x — l). Posons alors

F (a?) ."'' — « (x — c)'1 {oc — a )''

En chassant les dénominateurs de l'identité (5) et remplaçant ensuite .v successivement par n, b, ... /, on trouve les valeurs de Ap, Bq, C, ..., L; pour obtenir les valeurs de A,, A2, ..., A.p n

I>! !>,, M on peut égaler les coefficients de p [- q — ^ puissances de x dans les deux membres de l'identité (5) rendue

entière.

ITT. Si les coefficients de F(x) sont réels, les racines imaginaires vont par couples. Supposons, par exemple, a = a | 3/, b = » — (3/ ; la somme des Tractions simples correspondantes,

peut être contractée en une fraction réelle de la forme

Mv + N

car les valeurs A = /^ ,c \. B = /,„/ sont des imaginaires

conjuguées.

IV. Si l'équation F(x) = 0 admet p fois la racine a j 3/, elle admettra aussi « fois la conjuguée a — p/, et la décomposition

de [)] , en fonctions simples comprendra une partie de la forme F(x) L l l

M,.r + Ni M2x + N2 Mpj; + Np

(.v - y.r + 3^ "h [(0? - aj^ +• p*p H" ■ ' * + [(a, ft) + p*]P "

Les numérateurs des fractions simples qui composent ;,'

peuvent toujours s'obtenir par la méthode des coefficients indéterminés; leur détermination n'exige que la résolution d'équations du premier degré.