La substitution a* — a = fte l'amène la 4e intégrale à

r ai>. -h p*) + B a« + b r ^ a r ? <*?

Le dernier terme s'obtient facilement : car

2(p — \){z°- -f 1)p-i 11 reste encore à trouver l'intégrale

dz

que nous traiterons par réduction successive. On a

7 ri-f^-^e , = c ** f *rfs

Jp J (1 + ^)p .*" J (1+*«)p ' J "(1 -f *«)p"

Le premier terme de Zp est égal à Zp-X Pour trouver le dernier, appliquons la formule

| udv = uv — | vdu en posant a = x;, r/r — ~r~S;

( 1 ■ h «;' y résultant de la formule (0), il vient

Zp == Zp 1 + 2(p - 1) (1 -h ^ ' "" 2(p = îj Zp 1

2p — 2 p 1 r 2{p — lJll+^-i''-1 v~ ;

Telle e.st la formule de réduction cherchée. Si l'on y remplace p successiTement pur p — 1 , p — 2, ..., 2, on fait dépendre Zp de Zp!, Zp j de Z,, 2, ..., Z. de Zr Or

dz

— ==arc tg s;

doue on peut regarder l'intégrale Z,, comme connue.

4. Remarques. — I. Quand on intègre entre les limites 0 et oo, la formule (A) se réduit à

r00 dz 2j>-3 r°° dz

Jo fl+-2)p =2p — 2 Jo (1+*8)*-1'

Remplaçons /; successivement par /;, /j — 1, .. , 2 et observons que

•OO i„ r -OO

t = arctg* = 4>:

J o 1 + - Jo ^

des égalités ainsi obtenues on déduit

r°° ote (2jp — 3) r2/> — 5) ...3.1 tz

J o ( 1 + ~7J = (2p — 2JÏ&) — 4) ... 4 . '2 2

II. D'une intégrale connue on peut déduire une infinité d'autres en Taisant un changement de variable. Par exemple, si l'on pose z — tg 0, la formule (B) donne

changeant /; on p + 1 et 6 en ^ — 0 on obtient