C-*+ ly»(**— 1) 2(*8-H
La dernière fraction se décompose en ( — r — , ); donc
i r dz i r d* î r àz 1 r ^
2.) (5- + 1)- "" ïj z~ + 1 ~f' SJ z - i 8J 7TT Si l'on applique la formule (A) (3) pour p = 2, on trouve
Les autres intégrales se trouvent aisément, et l'on a
y = - 2 ar° të* - 4&-+T) + 8 'ï + ï '
J :c4 — a4 ■la3 x -f- a 2a3 ° a
■ 'vô" 1 I — .y; -f ./- 1 2X — 1
.7-3 -} i ~Ql "(1 +~*j* + i 3arC g ï 3 dx 1 a; — 1 1 2.1? -j- 1
^ "-^r " -a v?+ s + r " 7* arc g i/3
5 fa?V— 2a> + 3
Xi 5^2 4- 4
dx — l
[x J- 1) (x — 2/ i il'
rfa? 1 7a?2 + a?i/2 + 1 1
J 1 + a;4 4 1/2 a;2 — au- 2 +
i + 2i 2arctgr=:
f e&e 1 ,(1 -|- a?) (I -f x + .x2)2 , 1 aV3
(1 —X) (1 —a; + flj*)ï
a- Va*
3 \ (x*+mf+4)(x* h9r-àarctga7+Barctgl-âarctgl
x — ])(x — 2) 4 [x--l)4 x3<ir
1 ur~ 1 )(.,;- 3r
f arVa; 1 . a?2 ..
, dx = - L -. , — - arc tir a
[x — a)z[x— bf {a — bf
cfcc 2a? -f- 1 ,4
-f ;; ..arc tu'
(x2 + x -f l)2 3(a;2 + a? + lj 3/3
dx la;3 1
dz
Poser .v3 — 2r, ce qui conduit à
lb. — - arc io' L -
Fonctions irrationnelles simples.
6. Ce n'est que dans un petit nombre de cas qu'on peut intégrer, en termes finis, une différentielle algébrique irrationnelle. Lorsque l'intégration est possible, la méthode à employer est, généralement, Tune des suivantes ; 1° on rend la différentielle rationnelle au moyen d'une substitution convenablement
choisie; 2n mie intégration par parties ramène l'intégrale à une
autre de môme forme, mais plus simple; celle-ci a une autre
plus simple encore et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton arrive
à une intégrale connue.
La première méthode réussit pour les intégrales de la forme
m p | F(.'<?, y n, //<i, ...)dx,
où F désigne une fonction rationnelle de X, y" , y,[ ... ; // est une fonction du premier degré ax -f- b) ou une fraction de l'espèce ax f b ax' + F '
En effet, si A* est le moijulre multiple commun des dénominateurs n, q, ... des exposants de y, on pose, respectivement,
ck — b
ax --}- h = ~k, d'où x =>
ax -f- b , ,, .
= sk, d ou x =
On sera ainsi conduit à une fonction rationnelle en s.
