f- 2s2 — 4s + Al[z -f lj

Il reste à remplacer z par \/ 1 -f- x.

T TT Ç dx fx — a

V ~~ ) x \œ — b Xous posons

x— a ., ... a — />^3 , S(a — b)zz

.v-b --• d°U "~ 1-.-' • ''•''- ll--,= '

L'intégrale proposée devient

q, j( **dz (*) f dz Ç dz

On est donc conduit à intégrer deux fractions rationnelles. „T C ocdx

Bien que les radicaux portent sur une quantité du second degré, une circonstance favorable permet de rendre la différentielle rationnelle. En effet, la substitution 1 — x'1 = z6 donne

!>—3J/^ = -Sj-z + ^—oj^-i + l -r~)*, eto

Intégration de F{x, \ ax2 -f- 6a? -f- c)r/j?.

8. Transformations algébriques. — Désignons par F(«\\ X une fonction rationnelle de x et X. Il existe plusieurs transformations qui changent F(x, \ ax2 -f- ^*v "I" c) en llllc expression rationnelle.

1° Si a est positif, posons

\ «x- -f bx 4- c — \ a(# -f- v) : I

;: On fait d'abord la décomposition — 7 ., on considérant

il — z*){a — bz3)

C dz f dz

z'-' comme étant la variable. On ramené al ., en renipla-

J a — bz6 j 1 — c

çant s3 par u\ doue s par \ u. a \ o

nous aurons successivement

axz -\- bx -f- c = ax2 |~ 2axz \- azz,

az~ — c . . — az2 -\- bz — c ,

x=. 5— . dx = 2a \ ds, 2

\!a.^ + fcr H- c = \/5(a? -f z) = IZ™>L±*ÏZ c\Jâ. (3)

Les formules (2) et (3) rendent la différentielle proposée rationnelle.

2° Si c est positif, on peut poser

\'ax~ -f- ou? + c = \''c(i 4- #<*); (1')

cette subslitution donne

ax- -f- te -j- c = c -f" cx2z2 -f- 2c\rc-,

a? = 2 ' dx — 2c — — - r/j, (2 1

rt — c:-- (a — es-)2

\W- + te + c = \fc(\ 4- *-) = ^^ : "^2C" Vc • (3')

On voit (pie la substitution (1') atteint le but cherché. 3° Soient x', x" les racines, supposées réelles, de l'équation ax2 [- bx -\- c = 0. Si Ton fait

\ ax2 4- &# + c ()U \'«(,;t* — -r') (,r — #") = [x ~ œ')*i (i")

on obtient successivement

«(a; — a?") = (x — x')z2, ax" — x'z2 , 2a(x" — x') , , „

V Se* | ^ qp c = (,r ^ = ?(■* ■ - ^> . (3'/)

Les formules (2") et (.T) transforment F(x, \ux- f bx |- cJcLv en une expression rationnelle en z.