VI
L'intégrale devient
. f 2* - 1 f 2*fc f «fe „
— arc ta; 2
Tl reste à remplacer 2 par (1 — \'l — .v — x2).
Ç dx
Posons (8, 111) \7>* —^2 = ip — œ)z\
il vient b -\- oc = [h — x) s2,
a? = - — ï dx = , -, - s , dz , 224-l (*s+l)*
Ensuite y = 2 I -p-
4- 6) *2 4- (a — /y) Si a = /j ou a = — /;, on a respectivement
y ~~ = ~~ fo " r ~ 6 V /v + * V ' h~ fj\ h ~ x'
Supposons a et b positifs et inégaux. Si ,-7 > b, la substitution z y a -\-b = u \a — b donne
y - , 2 are tgu = , = arc tg \/^±IT±^; \ a2 — b2 \ja~ — //' V a 4- A b — a?
si a < b, on pose 2 \/b -f- a = u \ b — a, et l'on obtient
2 Ç du 1 ai — 1
\]l* — a? J «s— 1 \]b* — al " 4~ 1
('; Cette intégrale a été désignée ci dessus (3) par Z2. Voir aussi (5, III;-
ou
h -f- ce b 4" #
11. Substitutions trigonométriques. — Il est quelquefois avantageux de recourir à une substitution trigonométrique. On peut toujours ramener \ax2 ~-\- bx \- c à Tune des formes
,/>\ 1 -\- V\ m\/z°~— ï, m\/l —5*. En effet, si a -est positif, on écrit
et Ton fait, suivant que 4ae — 62 > 0 ou < 0,
^rt
\à2 — 4ac 2a
\ cLV- ! />.v -f- c est ainsi ramenée à l'une des formes
"!<«— '''J VVM- 1 ou \/7':-"«'N,— 1
Supposons a négatif et mettons son signe en évidence; alors
b \2 b2 -f 4acl
ax~ f- bx 4- c = — a
kt~ j
On a nécessairement b2 - 4ac > 0, autrement le radical serait constamment imaginaire. En posant
b \ b- \- Aac
on obtient
\ — (IX2 \- bx -f- C
Cela posé, si l'on fait respectivement
to- ce
eos
z = cos 'f ,
on trouve
\]l + z2 = 1 » \/z24-l==tg<o, \Jl— *2==shi<?.
' COSœ * o . i
Les substitutions (1), si l'on pose tg j=~o -- /, donnent les substitutions algébriques
et celles-ci conduisent à
Lorsque l'équation ,'j.v- |- /j.y | c = 0 admet deux racines réelles .y' et a*" (a' < x"), on a en mettant le signe de <w en évidence :
Y ax- -j- ^ + c = \a \ (a? — a?') (oc — x"),
\ — ax~ -\- bx -j- c — \a \ [x — x') (x" — x), et l'on peut poser respectivement
x — x} = (œ — x") tg8 ©, # — ,1?' — (a?" — a?) tgs ©.
Application. — y = 1 ' ,
KM J (tf2 - l)\/.r' — 1
En posant x on trouve
cos ©
Ç COS cd rfœ
! sur cd
sm cp y œ2 i
On arrive immédiatement à ce résultat en observant que
12. Remarque. — Si F(a, (3, y) désigne une fonction rationnelle de trois variables a, 3, y, on fait disparaître les irrationnelles de
| F(x, \/x -j- <25 V^ 4" &)da?
en posant d'abord a* -j- a = /2, ce qui donne
2 f F(f~ — a, /. \ V- +T— a)tdt,
et en appliquant ensuite les méthodes connues (8).
13. Applications. — Nous traitons ici quelques intégrales qui
se rencontrent souvent; plusieurs dépendent des intégrales
rlx . x Ç dx „ . /— ,,
= arc sin -» I — 3 — Ux -- Y x- -4- «j. (1)
1° Les intégrales
Ç dx
) \ - aP \
dx
-}- bx + c J \/ «j?2 -f 6j? 4- c
oii n > o, so ramènent aux intégrales (1). En effet,
— «a?2 + *# -h c = a a#2 -j- fat? f- c = a
b \2 , 4ac — è2
* + 2âJ + 4«<
Si l'on pose, respectivement
b~ + 4rtr 4a2
00 "Ta = =*' ~Aas~
on trouve
- are sin — are sm
va % va
V b2 + 4ac
.Vi = --^*(* + V*8 + a)
1 2«.r -f ô |-2 V ^(rt.r2 +?/r 4- c) i/« 2«
Dans la valeur de yl on peut se dispenser d'écrire le dénominateur 2a, car cela revient à négliger une constante li'2a).
y fl \ f
JLLtJU
Introduisons au numérateur la différentielle de ax2 4 &# en écrivant
1 Ç (2ax
-\- bx 4- 0
dx
nous aurons
y = Sjax2 | A.r -|- c
ax'1 -\ bx -{- c La dernière intégrale a été traitée ci-dessus.
dx
(mx 4- ») \a x~ + ^,r H" c
En posant mx + n = z> ()n ramène y à la forme
\\ z- \ Hz | C
et en posant z = on trouve une intégrale de la forme 1°.
4° y — | \ a2 — #2 dx.
Multiplions et divisons sous le signe par \ ./ -a- :
J y a* xi J \ a~ — x- J \ a2 — x*
La dernière intégrale s'obtient an moyen de la formule
| udv n r | vdtt
xdx ., /
en posant u = a*, a^ ■= , -9- - » d ou y = — \ a '-' — x- ; alors
y ci~ — A*"
y = a- are sm
fv«!-
x°~dx
Le dernier terme est égal à 3'; en le transposant on trouve
y = - a- arc sin — r- - x \a2 — otr. J '2 a 2 v
La substitution a = a sin © conduit au même résultat. Une antre méthode consiste à intégrer par parties en posant 11 =\/aT~-^c2, du= dx.
5° y = I \x- 4- « dx.
En opérant comme dans l'exemple précédent on trouve y = -x \lx- -ffl-f- a£(# + \/x2 -1- «).
