On appelle ainsi les différentielles de la forme

dy = xv(a -\-bxm)idx; (1)

a et b sont des constantes, /), m et (7 des nombres rationnels.

Si /) et m sont fractionnaires, par exemple p j » ^ = v » on

ramène e?y à une différentielle binôme dans laquelle les exposants de la variable sont entiers, en posant x = £k. En remplaçant a -j- ^vm par xm(ax~m -f- &), on obtient

dy = x^m\ax~m -f b)*dœ\ (2)

ainsi, /ozz/e différentielle binôme dans laquelle les différents exposants sontp, m et q se ramène à une différentielle binôme dans laquelle les exposants sont p -j- mq, — m et q, les coefficients du binôme échangeant leurs rôles.

15. Cas particuliers d'intégrabilité. — On trouve immédiatement la valeur de y dans les hypothèses suivantes :

1° q entier. Si q est positif, on développe (a ! bxm)'1 et l'on aura à intégrer des puissances de x ; si q est négatif, comme on peut supposer p et m entiers, on a à intégrer une fraction rationnelle.

2« p == m — 1. En écrivant

cfy = o;,n-1(a 4 to^ote = (a f bxm)'kl[a 4 6jcm),

on trouve, selon que g -}- 1 ^ 0 ou = 0,

mb(q 4-1) mô x

3° p 4 mr/ = — m — 1. C'est le cas précédent, appliqué à la différentielle (2).

16. Cas généraux d'intégrabilité. — Si l'on fait a 4 bxm == z, on trouve

x = (rF) • cte = à (" i ■?),-"lrf-.

D'après cela, on peut déterminer y lorsque est un entier.

En effet, si^— ^ 1 est entier positif, on développe la puissance de — ; — ; si ce nombre est entier négatif, et si q =-» on b s

pose z = ts, c'est-à-dire a 4 bxm = /s, et l'on est conduit à une

fraction rationnelle. Le cas de 1 = 0 a été traité ci-

dessus (15, 2°).

2° Appliquons la condition précédente à la différentielle (2).

^ p 4 niq fl . ,p 4 1 , , •

Ontrouve--- — entier, ou simplement -<7=-entier.

En résumé, la différentielle (1) est intégrable lorsque

— — == entier, ou — h cl = entier.

Dans le premier cas, on pose a 4 bxm — s (ou = ts); dans le second, on fait ax~m -\-b = z (ou t*). M. Tchebycheff a démontré que ces cas sont les seuls où l'intégration s'effectue sous forme finie explicite par les fonctions algébriques et logarithmiques.