Exemples
lo dy = ^;5(1 — tr,zyda>.
La condition' — = entier étant vérifiée, nous posons
1 — x- =-- j, d'où a? = (1 — z)i, dx = — - (1 — z) idz ;
ce qui donne
(1 ~\*2J dz ~- : —i(i
dy = -U\-zyzTdz = -\(zi -2z~> -
y.^-ig^+ïë* "46* =7*A 18* 7"l6- 46*
11 reste à remplacer 3 par 1 — de2.
20 y=Jvfîsi=Ja;3(1+a;8)'
La seconde condition étant vérifiée, écrivons
y = f ^-](^-s + l)2cto,
puis posons
#-s + 1 z~, d'où .r - (z2 — 1) 8, cfcc = — - ~(~2— 1) 8 ofer,
Il vient
= 8^-1 -^(VH-^ + n
3° y = l — r = (a -|- fa?m)-mcfa?.
J y a 4- &zm
La seconde condition d'intégrabilité est vérifiée, car n I P + 1 , n
Soit, par exemple, m = 3; alors
y -= 1-5 ■ lfl?-1(a;-3 + l)3rfo7,
et la substitution x~* -\- 1 = £3 donne
A, B, C résultent de l'identité
z = k(i* +z + ï) + (* - 1) (B* -h C) ; on trouve aisément :
Par conséquent
l f dz . \ Ç z — \
y — I - — — — I dz.
J 3J z—\ ^ SJ z* + z + 1
La dernière intégrale se décompose en
donc
V = - 1 l{z - 1) + \l{*% + * 4-1) - ^3 arc tg 2~ + X •
18. Formules de réduction. — Lorsqu'une différentielle binôme ne satisfait à aucune des deux conditions d'intégrabilité, on la réduit à des formes plus simples, en diminuant autant que possible les valeurs absolues des exposants p et q. Ces réductions sont encore utiles dans les cas où l'une des conditions d'intégrabilité est vérifiée.
Nous posons maintenant
ypq = Ç xv(a 4- bxm)*dx.
1° Pour réduire l'exposant q, intégrons par parties en prenant
x^x a — (a -f- bxm)li. dv = x]\lx, v = ■ — r> v ' ' ' 73 -j— 1
p étant suppose différent de — 1 ; nous aurons
//1M1 = : {à -f bx™)i — qm\ j &P+ra {a -f- bx™y-ldx. (4)
L'intégrale yivl est ainsi ramenée à 3'P4-m,a— i- Si les trois exposants p, m, q sont positifs, la formule (4) augmente le premier exposant, et diminue le dernier. Pour ne faire varier ({lie l'exposant r/, supposé positif, observons que
bxm -\- a — a xv(a -f- bxm) ax? /> o b
il en résulte
ylH miq j = j xv(a -f bxm)^dx— a aP[a -\- bxm)i~] dx, et l'égalité (4) prend la forme
2/p.a = j} + ! îa i- ^m)q - ;7+l y,vl + iH--! Pm-x' (o) Résolvons l'équation (5) par rapport àyp>q; il vient
?/Pa= a 4- bxm)* -j- -- , ypq i. (A
En employant plusieurs fois cette formule, on retranchera de l'exposant q toutes les unités qu'il contient.
La relation (A) est illusoire si p -\- l -\- mq = 0 (*), hypothèse qui rentre dans le second cas d'intégrabilité.
Si p -f 1 = 0, la formule (A) est encore vraie, bien que la démonstration soit en défaut; on la vérifie en différentiant les deux membres.
2° Si q est négatif, l'intégrale vr.q-i est plus compliquée que yIVi. Dans ce cas, on applique l'égalité (A) en considérant
(*) L'égalité (5) donne maintenant
a-.p+i(û -f km)i -f aqmi/?A-\ = 0,
d'où l'on tire y{ \q-i. En changeant ensuite q — 1 en q et remplaçant/) -f- 1
par — mtq -j- 1), on obtient
(ax~m -f //)'' ; '
yv,q\\ comme étant l'intégrale proposée et yp.(, comme étant la nouvelle.
Pour approprier les notations, nous posons maintenant
Ç xvdx ywv = ){â^bx^
la formule (A) devient, par le changement de q en — q,
a'P+l aqm
^P,q = = ^ j Ï^Tnq)(a^l)x^ "~ p + 1 — mq l/w{ H"
Changeons encore q en q — 1, et résolvons ensuite (6) par rapport à yP;q; nous aurons définitivement
y ^ p + i-Mq-i) iB)
3° Pour réduire l'exposant /), nous écrivons yVA = f .^p-™^™-1 (a -f bxm)*dx,
et nous intégrons par parties en prenant
L1 ., , , (a-\-bxm)*±l
u = x^~m+[. dv — ^m I a 4- oxm)^dx, V = - — ^ — — -ry- »
v mb(q -j- 1)
(/ étant supposé différent de — i ; il vient
*p,q mb(q-\-\f J mb[q -j- 1) J
Supposons p et m positifs. Le premier exposant de x a diminué de m unités ; l'exposant du binôme diminue également en valeur absolue quand q est négatif, mais il augmente quand q est positif. Pour ne faire varier que le premier exposant de x, nous remplaçons, dans la dernière intégrale, [a -\- bxm)q+} par (a + bxm)*(a + bxm); alors
j" xv~m(a -f bx™y+ldx --= a f a?P-m(a -j- bxm)^dx -f b j" sc^a + foc'")^
L'égalité (7) devient
#P-In+1 ; . , N , , P — m -h 1 . . 7 N /oN
y« = ^r+ij (" + hx ] H - ^% +ry (^"--" + •/1"") (8)
En réunissant les deux termes en yP>a, on trouve £CP-m+1 (a + bx™)*+1 a(p — m -f 1)
y™ ~ " ô(fi^+pTï) ï^T+p + 1) yp m'q' ( ]
Cette formule est illusoire lorsque mq -\- p + 1 = 0 (*) ; mais l'intégrale proposée rentre alors dans le second cas d'intégrabilité.
L'égalité (8) est illusoire lorsque q -f 1 = 0; néanmoins, la formule (C) subsiste encore, ainsi qu'on peut le voir en différentiant les deux membres.
4° Lorsque p < 0, m > 0, nous posons en mettant le signe de p en évidence
Ç (a + to-)« d
La formule (C) devient maintenant
(a + bxm)^1 a(p + m — 1)
yp'q =" b\rnf^^\- l)a;P+m-1 + ôfm^"— jo + 1) yp+m'q'
Changeons encore p en p — m, puis résolvons l'égalité par rapport à yp.qî nous aurons
(a 4- bxm)^+l b(mq — p 4- m -\~ 1)
