Exemple. - y, = | y

Nous avons une différentielle binôme dans laquelle m = 2,

q = — = • Comme nous supposons /) entier, l'une ou l'autre des

conditions d'intégrabilité (16) est vérifiée suivant que p est impair ou pair. Nous allons cependant intégrer par réduction successive, en opérant directement au lieu de faire intervenir les formules (C) ou (D). A cet effet, intégrons par parties en prenant

t 7 x dx . rz „

tt = #P-1, dv = —7- ? v = — VI — x~\

dx.

(*j Dans l'égalité (8), les deux termes en yp>q se détruisent, et l'on trouve la valeur de l/p—m,q , un changement de notations en déduit 2/r,q.

nous aurons

yp = ^p-i \J i Js + q, T) j ^p-2 y ! ^ ,/,,.

= ^p-i \'i 51 + (P i) f ^p~2(l :zf!i ,,.,.

J VI — ar = . ^-l y' 1 - a* + (p - 1) (yp 2 - yp).

Si l'on réunit les deux termes en vP, on trouve

-Vi-*2 + - — -yP-î.

Supposons d'abord p positif et pair. En remplaçant /; successivement par p —2, p — 4, . .,2, on obtient

Vi-^+^^yp-i.

y2 = — - Y 1 — a?2 + ^ 2A> = — 2 ^ + 2 ai'° a?*

Eliminons les quantités auxiliaires yP-2> z/p-4> ••• > 3*2 5 ^ vient

1 b-1 . ^~ ! d 3 . , (p-l)(p — 3)...3.1J yp== " Lp" +X*> V +-+ p(p-2)...4.2-a?.

H-— — r- ^ — -, « arc sm a?. />(p— 2)...4.2

Dans le cas de p positif et impair, on arrive à

\/l — xl

y3 = — r^z\l —x°~ +gj/i,

et comme y: = — \ 1 — x2, la valeur de yp est

yP

On a un résultat très simple quand on intègre entre les limites 0 et 1 :

1 x* dx 1.3.5...(p — 1)

( l xv dx