VI

Vi = —

et, si 77i est impair, à

ç dx r dx

/y» ml /y* -. / /yi

Remarque. — La substitution x = sin 6 ramène l'intégrale proposée à \ sinP 0 rfO, intégrale qui sera traitée ci-après.

20. Réduction de | F(.y, \ZX.)dx, où X représente une fonction entière de x, et F une fonction rationnelle de x et i/X. On a, généralement,

C+Di/X C2 — D2X

A,B, C, D désignant des fonctions entières de x ; donc F(#, i/X) se ramène à la forme P -\- Qi/X, où P et Q sont des fonctions rationnelles de x, et l'on a

F(a?, X)dr — Pcfo? -j- ,1. dx.

Le terme J Pefoc s'obtient par des procédés connus (2). La fonction rationnelle QX se décompose en éléments simples de

la forme kxm ou - (1), de sorte que l'intégrale proposée

l t.V ' Ce J

dépend des suivantes

Ç xm dx C dx

J V X ' J (x- ari X* W

Supposons maintenant que X soit un polynôme du second

degré. Si l'on fait x — a = - > on trouve

y r dx m Çym~xdy

J (S — ~ay~i x ~ J i/y

c'est-à-dire une intégrale du premier type (1).

Une substitution linéaire ramène X à l'une des formes 1 -f- x2, 1 — x2, x2 — 1 ; donc J F(x, \/X.)dx se réduit à celles-ci :

/xm dx Ç xm dx Ç xm dx

que l'on peut traiter par réduction successive (19).

r dx 1 1 + z 1 , J/~7^~~