zp =- lY - — -arc tgj, ou

J \/ a?2 — 1 r xdx \ .z2 — z -y \ 1 2 j — 1

où z = - V 1 — ^3 •

3 Ç dx 1 \Ja -\- bx- — )/a l

'(« — bx) a4 x cv'x 2a1., ~ ?mx

dx

(CIX — , on peut poser xHa 4- bx)

J xv(a -\- bx) 1 Ap Ap i At .

a?P(a -f- foc) a?P ^P-1 07 a -\- bx

1 Brp

ll'où i + ftï- Ap + Ap .,* + ... +A^p-I + - + ij;:

la division de 1 par a -\- bx fait connaître Ap, Ap], .... \x, B. On peut aussi employer la formule de réduction

dx 1 b Ç dx

a;P(« 4- &p) «(p — l)a?1>1 a J a?p 1 (a + bx)

qu'on obtient en remplaçant dx par (a -\- bx — bx)dx.

C x^ dx

5. Trouver ypri = I — — — > p et q étant entiers et positifs.

On peut se servir de la formule de réduction

y™ - — 2(2 =T) (T+ô»/^1 + 2(ry — i) ^--'i-1-

Si p est impair, la substitution 1 -f- a:2 = c conduit rapidement à la valeur de l'intégrale.

6. Trouver ?/p = J (1 — x2)p\ 1 — x2 dx, p étant entier positif.

,l Intégrant par parties avec u = (1 — x2) 2 , dv = dx, on trouve

x(\— x2) * 2p + 1 V? ~ op -f 2 "^ 2/3 -f- 2yp 1"

7. Trouver une formule de réduction de ypq — | &-p(l -j- xjqdx.

y™ = T+ï+r +ir+^ tï^-1' etc-

« . . f dx

S. Soit ?/p -= — T— — »

J a?IJ\ a -f- bx -f- ex2

trouver une relation entre ?/p, yp i, yp 2«

On a

,, ./ 7 — 5\ mj7ra-1(<2 + ^ 4- ex2) , . ^m(/> 4- 2cx) d [xm \ a \-bs + ex2) = - y- v dx 4- , V '—dx

\ a -f bx -J- ex2 2 \ a + fo -f c*2

mftx"1-1 -j- (m + - Wm -f- (m + l)cj?m+l

\ a -f ^ + ex2

dx.

Intégrons les deux membres de cette relation et remplaçons m - 1 par — P ■

\ a -f- bx -f- cr2

(P — 1>^p— f^ — gWp-i — (P— 2)eyp 2.