Pour trouver
Ç ' dx , • (7)
J a cos2 a? -f- b sin2 a; -|- c sin a? cos a?
on divise le numérateur et le dénominateur par cos2 x et on pose tg x = s, ce qui donne
dz
« -f fo2 -f as
intégrale déjà traitée (I, 198, 3°). En particulier,
dx Ç dtgx 1
—r- ~ = \ ~ - = -l(b -{- Ctg x),
J a cos2 x -|- c sin a? cos a? J ft -f c tg a? c
f ckc f dcota? 1
—v— - = — | — - = Hb + c cot a?).
J 6 sin2 .t -j- c sm x cos a; J o f c cot a? c
24. On ramène facilement aux intégrales qu'on vient de traiter,
a cos x -\- b sin x -\- c En effet, le dénominateur peut prendre la forme
f oc . 0 x\ ,.,.- œ a? ^ a? . à?\
a f cos2 - — sm2 - J -f '2b sm - cos - + c (cos- - + sin- - j
n-, oc se OC
= (c + a) cos2 - -f (c — a) sin2 - -f 2b sin - cos'9 ;
on emploie donc la substitution tg -^ = z.
Lorsque c — 0, il est plus simple de rendre le dénominateur logarithmique. Introduisons un angle auxiliaire o tel (pie
si n cp COS œ '
nous aurons
a eos <r + 6 sin a? = \a'~ |- è2 sin (a; + ©).
Donc — : == — — l fcg -^L i .
J a cos .t + & sm a; y « | b~ 2
25. Soit F(sin x, cos œ) une fonction rationnelle de sin x et cos x. On ramène
J F(sin x, cos .t) cfe
à l'intégrale d'une fraction rationnelle en posant tg — = z :
n . os x 2z 9x . „oc \ — z~
sma? = 2 sin-cos - = - , -y» cos a? == cos2 -; — sin2:- = — — »
2dz
x = 2 arc tg #, rfa? == - — - — - ;
2z l — z2\ 2dz
F(sin a?, cos oc) dx = F( .
VI +z* l + *V1 + *2
C'est, au fond, la méthode employée pour l'intégrale (8). Lorsque la différentielle à intégrer a la forme
F(sin2 oc, cos- x, sin x cos x, tg x)dx,
la substitution tg x = z convient également ; c'est celle qui nous a servi à trouver les intégrales (6) et (7).
La composition particulière de la différentielle suggère souvent d'autres substitutions. Ainsi, en observant que
dz T sin x dx
sin x (a + b cos x) J sin'2 x(a + b cos x) ' on est conduit à poser cos x — z; l'intégrale devient
- j (| »!)(« + 6Ï) == j rfj ( 1 ^ + 1 +ï + o + te) ' 6tC- Neuberg, An. inf., IL 3
Intégration de sinp x cos'* x dx.
Nous supposons p et q entiers, positifs ou négatifs. Si p -f- q=0, la différentielle se réduit à tg1' jc dx ou à cot^ .v dx.
