Intégration de tgP x dx, p étant positif. Posons

tg x = ~, d'où a; = arc tg s, rfa? == — - ;

nous aurons, si p est pair,

| tgp x dx = ) - ~ j ^ = C^p-2 - *p-4 -f ... ± i T — -p^) <fc

p — 1 p — 3 si p est impair,

(" tgP a; ofcr = | (*p-> - *p-< -f ... ± z T ^Ti) dz

tffp 1a? tgP-3^ tff2a?

On obtient une formule de réduction en écrivant

I tg'1 x dx = (Y- -^- - 1^1 tgP-2 x dx = l"P ^ — ( tg-P-2^^. J ° J Vcos2a? / ° p — 1 J &

29. Intégration de sinp.Y dx. — I. Supposons d'abord p positif. On peut ramener sinp x à une fonction linéaire de sinus ou cosinus de multiples de x (Alg., 29); l'intégration est dès lors facile.

Si p est impair, il est plus simple d'écrire

| sinp x dx = f( L — cos2 x) 2 sin x dx,

et de développer la puissance indiquée; on obtient des intégrales de la forme

cos1^1.^

cos" x sin x dx = — •

Par exemple,

sm5a?flfoc — 1(1 — cos2 a;)2 sin xdx= — cos#-f- ôCOS3# — -cos5 x.

Si /> est pair, des transformations trigonométriqucs convenables ramènent parfois assez rapidement l'intégrale proposée à des intégrales connues. Ainsi :

8 sinr> x = (1 — eos 2a?)

= 1 — 3cos2a?-|--(l -f- cos 4a?) — (1 — sin22x)cos2,r;

,, , a f . fi 7 5 . 3 . . . si n3 2.2?

d ou 8 sin6 op ax — - x — 2 sin 2a? --}- - sni 4a? -f- ; — • J 2 «S 0