Trouver

sin (.t — a,) sin (x — a2) . . . sin (x — an)

rfa?.

sin (a? — 6,) sin (a? — £>2) . . . sin (a? — bn) La fraction à intégrer peut se mettre sous la forme B -f Bi cot(a? — by) -f- B2 cot(a? — ô2) -f- ... -}- Bn cot(a? — 6n).

Fonctions exponentielles ou transcendantes inverses.

35. Les cas d'intégration sont assez rares. Les procédés les plus employés sont l'intégration par parties, ou un changement de variable tel que Ix = z, arc sin x = z, etc. Voici quelques exemples.

Soit à trouver

y = J x3 1(1 -\- X2)dx.

Pour faire disparaître le logarithme sous le signe, intégrons par parties. En prenant u = /(l -\- x2), dv = x3 dx, on obtient

x4 If x* dx

= Ç,(l+*S)l j (x^-x^^-Y)dx

On traite de la même manière

l F (os) arc sin x dx, J F(x) arc tg x dx,

lorsque F(x) désigne une fonction rationnelle.

Si F{x) est une fonction entière, on trouve en intégrant par

parties :

C eax lf

F(x)e™ dx= — F(x) . F'(x)e^dx

Pdx i r

F(x) ——F\x) + 2 F\x)e™ dx,

Cl" Cl J

et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à J ea* dx.

La substitution eax = z ramène J F(eax) dx à l'intégrale d'une fonction rationnelle.

36. Intégration de (arc sin x)v dx et de v? cos x dx. — La première différentielle se ramène à la seconde au moyen de la substitution arc sin x = z, ou x = sin z.

Si p est entier positif, on trouve en intégrant par parties :

J x? cos x dx = x? sin x — p J x?~l sin x dx

= x? sin x -f px?-1 cos x — p(p — 1) J œp~~2 cos x dx ;

et ainsi de suite, jusqu'à ee que Ton arrive à | cos x dx ou à ) s in .v dx .

Si p est entier négatif, on intègre par parties en prenant dv = s;p dix ; le signe de p étant mis en évidence, on a

Ç cos x dx cos x 1 Ç siu x dx

I x? " O — l)^P~l " p — rj a;^1

En continuant ainsi, on parvient à l'une des intégrales

Ç cos x . Ç sin x .

I — - dx. I — — dx,

qu'on ne peut obtenir qu'en remplaçant cos x et sin x par leurs développements en série. Les intégrales définies

|"°° cos x |*x sin x

sont des fonctions de la limite x ; elles ont été appelées cosinus intégral de x, sinus intégral de a* et sont désignées par Ci(x), Sz(.v). On a construit des tables donnant leurs valeurs pour des valeurs de x suffisamment rapprochées.

37. Intégration de xp(lx)ndx. — Intégrons par parties en prenant u = (lx)n, dv = x*dx ; il vient

xv(lx)ndx =- —-— (lx)n xi xv(lx)n-]dx. (1)

Si n est entier et positif, cette formule donne

xv(lx)ndx

#p+i r n „ . . , n[n — 1), . „ , . ,. m(m — 1).. .2.1 = (£rn t-tW^H-/- ■ , p^n~2...+(— l)n~ ~. —

p+iL p+i (p-f-ir (» + l)n

Si 72 est entier et négatif, renversons la formule (1), c'est-àdire considérons le dernier terme comme étant l'intégrale proposée; en écrivant — n pour n, puis n pour n -\- \, nous aurons

Ç oc? #P+l p + l Ç x?

Cette relation permet de ramener l'intégrale proposée à

(lX.

Les substitutions .y'' I l -- = z, Iz - -- u donnent

ldu

J Ix ) Iz J u

Les deux dernières intégrales ne peuvent s'exprimer parles fonctions élémentaires. On développe la troisième en série en rempla-

u u2 çant eu par 1 + ---f- y- v -f- ... et en intégrant ensuite chaque

terme.

On appelle logixviihme intégral de z et on désigne par li(z)

('■ dz l'intégrale définie j— • Des tables en donnent les valeurs pour

des valeurs de z se succédant par intervalles assez petits. 38. n étant entier et positif, cherchons les intégrales

An = J x"e* sin x dxy Bn = J xnex cos x dx.

Intégrons par parties en posant du = exdx ; nous aurons

An = xnex sin x — | é^(nxn~1 sin x -\- xn cos x)dx

«= xnex sin x — «An i — Bn, Bn = xneK cos x — J ë*(nocn~l cos x — xn sin x)dx = xnex cos x — wBn i -f- An ; ou bien An -f- Bn = x"e* sin x — »An i,

— An + Bn = xnex cos x — «Bn i,

Résolvons ces égalités par rapport à An et Bn ; il vient

An =g x»e* (sin a? — cos x) — - (An-i — Bn-i),

Bn =g #n<?x (sin x + cos a?) — - (An i -f Bn-i).

Si l'on applique plusieurs fois de suite ces formules, on parvient aux intégrales déjà traitées ci-dessus

A0 = f <?x sin x dx — ex sin a? — B0,

B0 •■= J cx cos xdx = e* cos a? -J- A0,

c'est-à-dire à

A0 = - cx(sin x — cos x), B0 = - ex(sin x -f- cos ce).

39. Introduction des exponentielles imaginaires. — On a vu que

e"[ = cos x -f- i sin x, e xi = cos a? — i sin .r,

cos x

exi j. e- xi

» sin ^

Ces formules sont utilement employées dans l'intégration de certaines différentielles trigonométriques. Ainsi, s'il s'agit des intégrales An, Bn que nous venons de traiter, on écrit

Bn + An* = f xne* (cos x -\- i sin œ)dx

= \ xncx^+[)dx ;

une intégration par parties donne

ajngx(i+i) n

Bn + Ani

en observant que

-.JV

-lgX(l+i) <■/# ;