i = = 1/2 ( cos - + / sin

on peut mettre le résultat précédent sous la forme

Bn + An/ = ^x"ex

x — - ] -|- i sin f us

72 V C°S 4 ~" ' Shl 4 ' ^Bn 1 " ' An~l/^

Cette relation ramène Bn 4- Anz à

cos ( x — - J -j- i sin (x —

Ayant la valeur de Bn 4- Anz, on sépare facilement la partie réelle et la partie imaginaire, et l'on trouve ainsi Bn et An.

Les calculs sont très simples, si l'on intègre entre — oo etO; comme xne* s'annnle aux deux limites, on trouve

Bn 4- An* = — ^2(C°S ï ~~ i sill4j(Bn-l + An iO-

- 4!) — Ensuite

Bn-i + An it = — '-^ fcos^ — iBin^J(Bn j | An Bj).

B0 + A0t--p^^cbs5-tsin^J.

Si l'on multiplie ces égalités membre à membre, il vient

B„ + Ani = (-l)n^%^^(cos^-ÎShig"+l

. .1.2.3...n/ (n+ l)it . . (n + 1)t:\ = 1-1)" ^—fcos^ -^- .-isin- -j-^-J.

2 2 On en conclut

B„=(-1)"1-2t;-"eoS(''V)-'A^(-1)'.+.^;-sin^.

Fonctions hyperboliques.

40. L'introduction des fonctions hyperboliques fait ressortir certaines analogies que les notations ordinaires laissent inaperçues.

Les fonctions hyperboliques directes sont définies par (T, 396)

£?x -1— C~ X Cx é?"x C'x — (?~~X

Cli a? = ~ > Sh x = - y Th a? = — — - - >

2 2 cx -f e~x

ou par

™ / -\ ci sin(arc) rri tg(x/)

Ch a? = cos [xn. Sh a? = ■ — ^ — -' Th.v = -^ — '; (l)

les fonctions inverses ont pour valeurs (I, 398)

Arg Ch x = Kp + V*8"— 1), Arg Sh a? = l{œ + VTT^2, j

ArgTh«r«l*L±|. ' (2)

Neuberg. — An. Inf., II.

Si l'on désigne par u les deux membres de l'une des égalités (1), on peut écrire

~. arc eos u . ^, arcsin(uz)

Arg (li u = —- > Arg S h u = - (3)

arc tg (ni) Arg Th u = ?- — '- •

Cela posé, rappelons que

Ç dx . | Ç dx r .. 4 /-— — -. \

— r= - = arc sm a?, — ;= = l(x + V 1 -f ;r2),

J Vi — *2. I - Vn-^2 J

j : = arc cos x% (4) — j= - = /(a? -f- \/^2 — 1), \(5)

Ç dx Ç dx \ A A- x

| — - - = arc te a? ; — — ; = - Z ,

Les égalités (5), à cause des relations (2), reviennent à

JvTT^ ~" Arg Sh *' J vfc = Arg Ch "' !

ce qui établit une analogie entre les groupes (4) et (5). D'autre part, la seconde des formules (4), si l'on remplace \/I — a:2 par i \.v2 — 1 , donne

Ç dx

J "yâP —

des autres formules (4), ou tire, en changeant a* en xi : dx arc s in (xi) Ç dx arc tg (xi)

/vr

Au mo3ren des égalités (3), on passe de ces résultats aux relations (6).

Exercices "et notes.

l. — - - arc tg e

J eK -f- e

xdx 1

/a 4- &ex 4- ce~x , ax , „ a — ôm 4- c»?2 7. ?n 4- e m m

G. j g?jj = lx{llx 1).