CHAPITRE III
DES INTÉGRALES DEFINIES.
41. L'intégrale générale d'une différentielle donnée comporte une constante. Si l'on sous-entend la constante, il peut arriver cjuc l'intégrale d'une même expression, obtenue par divers procédés, se présente sous des formes différentes.
Ainsi, l'intégrale de sin .y cos x dx peut prendre les formes :
( i • sin2 a; Ç
sm.T«sina? = — - — » — cos x a cos x =
sin 2x . 2dx = cos 2x ;
mais les différents résultats ne diffèrent que par une constante, car
sin2 x 1 — cos2 x 1 — cos 2x
De même, a étant une constante arbitraire,
^ = arc tg a? 4- C
a? I ce = (arc tg a? + arc t<2: a) 4- C, = arc tg — - - + C,,
1 — ax
On a
[ — = Uce — a) + C,
{ dx - = fzL^ = z(a-a?)4-C1.
J a? — rt J a — x v
La première formule suppose x > a, la féconde x < a. Cependant, si l'on admet les logarithmes des nombres négatifs, on peut écrire
alors l{x — a) et /(a — 5c) ne diffèrent que par une constante.
42. F(a*) ayant pour dérivée f(x), on a généralement, sauf certaines restrictions relatives à la continuité de f{x),
\hJ[x)dx = F(b) — F{a).
Sous le signe d'intégrale définie, on peut écrire telle variable qu'on veut, pourvu que les limites restent les mêmes. Ainsi
j hJ(x)dx = j bJ\y)dy = J hJ\*Yh-
Si on renverse les limites, V intégrale définie change de signe :
| f(x)dx = — j f[pc)dx.
43. L'intégrale définie admet une seconde définition (I, 205), qui est importante pour les applications, et doit prévaloir sur la première dans les cas critiques, à savoir :
L'intégrale définie | bf(x)dx est la limite de la somme des valeurs que prend la 'différentielle f(x)dx lorsque x passe de a à b par un nombre indéfiniment croissant de valeurs intermédiaires.
Cet énoncé suppose qu'on insère entre a et b des moyens tv„ x>, ..., xn-\ d'après une loi quelconque, permettant de rendre les différences x] — a, x2 — xu ..., b — arn-i aussi petites qu'on veut; la somme considérée est
(œl — a)f(a) + (.v8 — a^A^i) + ••• + ^ô — «n-OA^n-Oi (1)
et ses termes sont regardés comme les valeurs successives de f,x)dx. On dit que chacun de ces termes est un élément de l'intégrale définie.
Représentons la somme (1) par S f(x)&x; alors
lim S f(x)lx = | f(x)dx,
ou, si F (a*) désigne une fonction ayant pour dérivée f(x) :
lim l?f(x)àx = F(b) — F (a). (2)
L'égalité (2j est pour ainsi dire évidente. En effet, l'accroissement total de F(a) dans l'intervalle (a, b) a pour expression F{b) — F(a); il est égal à la somme des accroissements partiels qu'éprouve F(a) lorsque x passe successivement par les valeurs a, t\',, a2, ..., An i, c'est-à-dire égal à
[PW - F(a)] + [F(.r2) - Ffo)] + .- -h fF(6) - F(flfel-i)]. (3)
Mais les termes de la somme (3) ont pour partie principale les termes correspondants de la somme (1); car
limF(a?p+l)~F(arp)=F,(^p), d'où F(^p+.)-F(^)=(^p+1-.V|/(.r^+£p],
£p étant infiniment petit avec la différence xp+\ — xp.
44. Partage d'une intégrale. — Soit c un nombre quelconque de l'intervalle (a, b) ; on peut écrire
ïhJ{x)\x = Ic/(^)Ar 4- tf/ï*)*».
d'où, en passant à la limite,
\hJix)dx = J °/W^ + J \f[oo)dx.
Cette égalité subsiste encore lorsque c est extérieur à l'intervalle (a, 6). Soit, pour fixer les idées, a < 6 < c ; on a
et par suite
/•b fc fc fc /*b
Plus généralement, si c, o\ ... k, l désignent des nombres quelconques,
pourvu que la fonction intégrée soit continue daus les intervalles d'intégration.
45. Remarque. — Pour simplifier on l'ait souvent croître la variable par intervalles égaux; autrement dit, les nombres
Cl, X^y X2, ..., 3?n__i, O
forment une progression arithmétique de raison A.v. Dans ce cas,
\lf(x)dx == lim \f{a) + ffa) 4 ■ ... + /*(*n-i) + f[b)]àx. (*)
De cette égalité on peut déduire des conséquences intéressantes.
1° Si f(x) est une fonction paire, on a
/•-Ha /*a
f(x)dx = 2 f(x)dx ; J -a J 0
car les éléments de l'intégrale sont, deux à deux, égaux. 2° Si f(x) est une fonction impaire, on a
f(x)dx — 0.
3° Soit /*(#) une fonction admettant une période o>, de sorte que
Soient À* et / (A* < /) deux nombres entiers quelconques, a et {3 deux nombres compris entre 0 etto; on voit immédiatement que
fo) r2o) /*(k+l)to Atofa ç<x
Jo Jw J kco J k(o J 0 '
J kw-Hx J a .' k(o + a J 0 J a
46. Soit f(x) une fonction imaginaire et réductible à la forme f\(x) -\- if2(x), où les fonctions fY(x) etf/x) sont réelles entre les limites d'intégration; nous posons, par définition,
f{x)dx = I f1[x)dx -f- i fjx)dx.
Si l'on connaît une fonction
::'i Nous ajoutons nu élément infiniment petit f(b) Aac, qui n'a pas d'influence sur la limite (le la somme.
