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1° Trouver la moyenne des cordes OA, OAp OA2, ... ayant une extrémité commune 0 et divisant une demi-circonierence en parties égales [fig. 3).

La longueur d'une corde qui fait avec le diamètre OA l'angle w est égale à 2r cos eu. Nous devons chercher la limite

Fig. 3.

de la moyenne des valeurs que prend Xr cos w; lorsque w varie de 0 à " en passant par des valeurs équidistantes.

Cette limite est (56)

2?' cos ai ûfa

2° Soit à chercher la moyenne des cordes OA, OAn OA2, ... qui divisent Taire du demi-cercle en parties équivalentes.

Considérons maintenant la longueur p de chaque corde comme une fonction du secteur S compris entre cette corde et le diamètre OA. Comme les valeurs de S procèdent en progression arithmétique, la moyenne demandée a pour expression

Mais on a

'l> ~ .. P'db),

2)' cos co ;

substituant ces valeurs et observant que les limites de w sont

0 et -, on trouve

1 C'z" f2" Ç~" lGr

p3dui=r\ cos3 ladio = r I (1 — sin2w) coswc/to = - —

3° Chercher, pour n = oo, la limite de la somme

y>;/ pu "-f- 1 pn-\-2 qn

où />, q sont des nombres entiers donnés, n un nombre entier variable.

Faisant n = -=-i on obtient /z

S = 7* ^ + ~ TT + — T-^7" + - + " \P P -\-h P~\- 2h q

La quantité entre parenthèses est la somme des valeurs de

la fonction —lorsque a* passe de p a q par intervalles égaux a h. Comme h tend vers zéro, on a

hm S = — = 1-'

J p oc p

En particulier, si l'on fait p = 1, q = 2, on trouve

iim(- +— rr + - + M=fô.

Exercices et notes.

.'o \2ax — x% q °os3 a?

4. = — — - • il* aire x = a sin- fJ et appliquer le § 31. Jo \ a — x 1°