DÉRIVÉES DES FONCTIONS INVERSES

48. Si de l'égalité y — Fly on déduit .v = /'i y , ou dit que les

fonctions F(.v) et f\x) sont inverses l'une de l'autre. Par exemple,

ni . m

l'équation y .vM donne .v — \ y: donc .v1" et ^ x sont des fonctions inverses. De même nK et loga«\ sont des fonctions inverses.

Théorème. — Si deux fonctions sont inverses l'une de l'autre, leurs dérivées sont réciproques.

Supposons que de l'équation y — F .v on tire x f\ y . Si .v, y) et (.v ! A.v. y Ay sont deux systèmes de valeurs satisfaisant à ces équations, on a identiquement

Ay A,'

\x~' [ ' A//' (Ton. en [tassant a la limite,

DÉRIVÉES DES PONCTIONS LOGARITHMIQUES OU EXPONENTIELLES.

49. Dérivée de log x. — Soit y = log.v, le logarithme étant pris dans le système à base n. Si nous donnons à x l'accroissement /?, y prendra l'accroissement

h « log (x A- h) — log x = log • logf 1 + -);

par suite

Posons = ; nous aurons .v m

log| l }- U= log 1 F

Lorsque h tend vers zéro, m croît indéfiniment et [I

a pour limite le nombre e (18); donc

k loge , loi»' c

lim r = ft » ou ?/ = n •

Il X X

Pour passer des logarithmes népériens aux logarithmes à hase a , il suffit de multiplier les premiers par le module M =loge (20); la formule précédente peut doue s'écrire

dlogx M , . .Tdx

S'il s'agit des logarithmes népériens, on a simplement

dix 1 dx

dx x x

Remarque. — Si u représente une fonction de x, la dérivée

de /// est (45) > et la différentielle est

50. Différentiation logarithmique. — Pour calculer la dérivée de v = K(.y)* il est quelquefois avantageux de prendre d'abord le logarithme népérien de V(.\) et de dériver ensuite. Ainsi, si l'on donne

y = Umi y = «^ ... M„, y = - ,

on écrit d'abord

ly = mlu, ly - l"x f- £«., + •• -f- lum ty : lu — '*' \

en prenant maintenant les dérivées des deux membres, on trouve

//' mu' //' u\ u12 , "rn // u' v[

y u y U\ u.2 ua y u v