INTÉGRATION DES SÉRIES

58. Principe fondamental. — Soit u1 -f u2 -f- us -f- ••• une série dont les termes sont des fonctions continues de x dans l'intervalle (a, b . Supposons-la convergente pour toute valeur

de x de cet intervalle et désignons par /(.y) la somme de cette série, par /"n le reste, de sorte que

f(x) = ul -}- uz -f ué + ... + wn -f rn. (1)

Soit A' un nombre quelconque de l'intervalle (a, £>; ; l'égalité (1) donne

f(x) dx = \ ux dx -f- Uo doc -[" ... + Mn dk 4" rn <&?• ., a ^ a J a ./ a J a

Posons Kn = rndx. Si, à mesure que ;i croit, Rn tend vers zéro, nous pouvons écrire

/\#) cta? = ul dx -f- w2 r/j? -|- ?^3 ofo? 4~ ••• (2)

où le second membre représente une série convergente.

En supposant toujours lim Rn = 0 et a < x < o, on déduit, de l'égalité (2),

J /"(#) cfo? = C + J u\ dx -f- J w2 (/a; 4" I M3 £&c 4~ • •• •

59. Séries uniformément convergentes. — Une série dont les termes sont fonctions de x et qui est convergente dans l'intervalle (a, b), est dite uniformément convergente dans cet intervalle, s'il est possible de faire correspondre à tout nombre donné s, quelque petit qu'il soit, un nombre positif v de telle sorte que pour toute valeur de x comprise entre a et 6, et pour toute valeur de n supérieure àv, le reste rn de la série ait un module inférieur à s.

Une série (réelle) uniformément convergente peut être intégrée comme un polynôme. En effet (58),

fb I fb

rn dx < £ dx ou < i{b — a) ;

fh

donc lim rn dx = 0.