Théorème. — Si la série
d0 4- O-yS 4" Ct.zX2 -\- ... 4" CtnXn -f- ... , (A)
dans laquelle a0, ax, a2, ... sont des constantes réelles, est convergente pour la valeur x = x1} elle est uniformément convergente
pour toute valeur de x dont le module p est inférieur au module çx
de Xj.
Soient a0, a1? a2, . . les modules de a0, a2, a2, ... . La série (A) sera convergente (/, 7) si la série des modules de ses termes,
ao + «ip + Ci,f + ... -f aflpn -f ... ,
est convergente. Ecrivons cette dernière ainsi :
a° + """ te) + *2?i fe)+ - + a,iFl' fé)"+ - (B)
et observons que la quantité *np}\ module du terme anXi de la série convergente
a0 4- a^j + fl^j + ../ + «n^î1 + ... ,
tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. On peut donc assigner un nombre fini h tel que pour toute valeur de n on ait anpp<C n- Les ternies de la série (B) sont alors moindres que les termes correspondants de la progression géométrique décroissante
il en résulte que la série (A) est convergente lorsque | x \ <pr
Appelons rn la somme des termes de (A) qui suivent aa—\Xn~1i et soit p2 un nombre inférieur à pj d'une quantité aussi petite qu'on veut. Xous aurons, en supposant p < p2 < pu
<M-£.y+»^^+...<*W:ri-h'
.Pi/ VPi/ vpi/ V Pi/
donc si l'on cherche le nombre v tel que
on aura | rn | < t pour toute valeur de n supérieure à v. On en conclut que la série (A) est uniformément convergente pour toute valeur de x dont le module est inférieur à p1#
61. Remarques. — I. Toute série de la forme (A) est appelée une série entière. Si elle est convergente pour | x | = p, elle est uniformément convergente (59) pour toute valeur de a* dont le
modale est plus petit que p. Soient a et /; sont deux nombres appartenant à l'intervalle ( — p, p); si f[x) représente la somme de la série (A), on a
f(œ)dx =
II. On peut dériver, terme à ternie, par rapport à x, une série convergente dans l'intervalle (a, b) :
f(x) = Wj -f w2 -f«3+ .. ,
si la série formée par les dérivées des ternies
est uniformément convergente dans cet intervalle. Car si v(x) est la somme de la dernière série, on a
Cu Ch Ch
u(x)dx -=-- u\dx 4- I u\dx + ...
d'où l'on conclut
62, Calcul des intégrales par les séries. — Lorsqu'on ne peut déterminer sous forme finie l'intégrale de f(x)dx, on essaye d'en obtenir un développement en série convergente.
Pour cela, on développe en série f(x); soit
foc) = ux -j- u2 4- ?^3 -f- ...,
le développement supposé convergent entre les limites d'intégration a et x, et soit rn le reste. Si {*rndx a pour limite zéro, quand n croît indéfiniment, on a, en série convergente,
\f(oc)dx = \fuldx 4- yu2dx 4~ f*w3afo? 4- ••••
Ce développement est toujours applicable lorsque la série nx -j- zZo 4~ "3 + ••• est uniformément convergente dans Tinterval le (a, a\i.
Remarque. — L'intégration par séries sert aussi à développer en série une fonction dont la dérivée a un développement connu, ou à trouver la somme de certaines séries.
63. Série de Bernoulli. — En intégrant plusieurs fois de suite par parties, on obtient
/f(x) dx = x f(x) — x f\x)dx o „'o
X f[x) ~ O f][X) + fÔ 1^2 f"{x) dX' etC' ;
= x en général
f[x)dx = xf(x)--— f(x) + —— fXœ)...+S-J±.\ œ«fW(x)dx .
Si le dernier terme tend vers zéro à mesure (pie n croit, on a le développeinent de \Qfix)dx en série convergente.
Cette formule, due à Bernoulli, se déduit de celle de Taylor :
7(* + h) = »te) + M*) + /'o *"(*) + - .
en remplaçant h par — .v, tp'(:v) par f(x), <f(ac) par |q /"(•*') rfac.
Applications.
64. Développement de arc sin x. — La dérivée de arc sin x se développe en série par la formule du binôme :
On en conclut en intégrant entre 0 et x (— 1 <\v <M) :
arc sin x = oc + ^ + ^ 5 + ^Xë T + "" (2)
L'intégration de la série (1) est permise; car la formule du binôme est applicable à toute valeur de x comprise entre — 1 et -f- 1 et conduit à une série uniformément convergente (60).
Remarque. — Bien que la formule (1) cesse d'être applicable à x = ± 1, l'égalité (2) subsiste encore et donne
arcsml = -=l-r- — + ^-^ + — -—+..;
car les doux membres do (2) étant égaux pour des valeurs de x infiniment peu différentes de 1 le sont aussi pour x 1.
