J \CLX — X

d'où

An =

ak

Cette relation donne

Àn-! = ^nT—^9 aA-a-?' ^n-2 "= 9^—4 rt*^n " 3' " ' " ' ^ = 2 ft^° '

2» — 2 par conséquent

Or

(2n-l)(2n-S)...3.l An" 2».(2n-2)...4.2 "'

arc sm

On en conclut la valeur définitive de An ; ensuite

vôori".3...(2n-- 1)

Il est facile de justifier l'intégration par série. En effet, dans

l'intervalle (o, a) le reste de la série (1 — bx) ~ est plus petit que

an -f an"H + ...

par suite, si l'on arrête le développement de ï aux n premiers termes, il faut ajouter une quantité moindre que

dx

~cV

1 — « \'ax— x2 1

cette quantité tend donc vers zéro pour n = oo. 66. Sommer la suite

rp i rp*

a* étant compris entre — 1 et -\~ 1.

Cette suite est convergente, car les modules de ses termes sont moindres que les termes correspondants de la série convergente à termes positifs

où a désigne un nombre plus petit que 1, mais aussi voisin de 1 qu'on veut.

La suite formée par les dérivées des termes es1

1 — oc- + x?l — ■7'r' I •''''' — ^"s 4" • '•>

comme c'est une progression géométrique ayant pour premier terme 1 — x- et pour raison x3, elle est uniformément convergente dans l'intervalle ( — 1, 1). Donc si f[x) est la somme de la série proposée, on peut écrire (61, II)

f(x) = i—x2 -\- xz — xr> -f œG — a?8 -\- . ..

Puisque f(o) = 0, on peut écrire

1 Jo Jo 1 -h a ' + ^

Introduisons au numérateur la différentielle du dénominateur

en observant que 1 + a* = ^(2^ -|- 1) -f «; nous aurons

arc tg — p^ arc tg

ou enfin

tA/ tX/ iA/ . iX/ "A>

1 la? 1/3

Exercices et notes,

pa^tg*^ = a,J+J£ . (j <x<]).

rfa? = x — — 4- Q, -

dx --= x-—--~ — — ... (— 1 < a? < 1 ).

Développer en série (1— x) J

f~Z(l + acosa?) . , .. .

5 l — e&c == - arc sm a, « étant suppose <^ 1.

! 0 cos x

Ramener l'intégrale à

f ~ . f a- cos x a3 cos2 a? \