SI

5° Pour un secteur AOB rapporté à des axes rectangulaires on a

1 f A XJ =*-\ (œdy — ydœ),

où il est sous-entendu que les limites d'intégration sont les valeurs de la variable d'intégration aux deux points A, B.

68. Aire du cercle. — Soit U l'aire comprise entre deux diamètres OA, OC (fig. Ç), l'ordonnée niV et l'arc Cm. L'équation de la circonférence étant x2 -f- y2 = a2, on trouve (13)

U = \ y dx — - \ a2 — x2 ~ arc sin

Le terme 4- \/a2 — x2 représente l'aire du triangle OmV ;

1 z arc sin -- est l'aire du secteur circulaire 0/??C.

On arrive au même résultat en prenant pour coordonnées d'un point de la courbe

x = a sin a, y = a cos a,

a étant l'angle du rayon de ce point avec OC ; en effet,

U = \ y dx = I a cos a . d(a sin a) = a2 cos2 a cfo J 0 J 0 J u

rt? Çol 1 -|- COS 2a ^ 1

= * a2 l a -j- - sin 2a