Aire de l'ellipse

1° Soit U l'aire comprise entre deux ordonnées NQ et MP Neuberg, An. inf., II. (>

(fig\ £), le grand axe OA et l'arc NM. On a, en posant OQ, = xu OP = x, :

rxQ rcc%b h rx2 ,

U = y dx = \ \ a~ — x2 dx = - y a2 — x2 dx .

F /y* l rp CL CL ' /y»

La dernière intégrale représente l'aire aQP/n comprise entre les ordonnées Q/i, Py?î du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre; par conséquent

aire NQPM __ b aire nQPm a

En particulier, l'aire de l'ellipse est à celle du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre, dans le rapport b : a; elle est donc égale à r.ab.

2° Pour trouver l'aire du secteur NOM, nous prenons pour coordonnées d'un point de la courbe

x = a cos <p„ y = b sin cp ;

alors la formule 5° du § 67 donne

1 fN 1 f?> 1

XJ = - (xdy — ydx) = - «5 ofo = - ab(o0 — œj.

2 J m «U <pi *^

On voit que les secteurs OMN, Omn sont dans le rapport

b : a; car l'aire O/aa s'obtient en faisant fr = a dans - afr(<p2 — ^j).

Les coordonnées polaires conduisent au même résultat. Car si l'on transforme l'équation a- y- -f- b2x2 = a2b2 au mojren des formules x =- r cos 6, y = r sin 0, on obtient

ensuite

a2 sin2 0 -f 62 cos2 0 '

2 J 01 2 J 0, a2 sin2 0 + b1 cos2 0

ab ~2

Or, entre les angles MOP = 0 et mOP = <p, on a la relation

MP m? b fa^ A

tge:tg?=op:()p = =-, ou ?==arctg^tgOJfetc.

3? Cherchons l'aire du secteur AFN, F étanl le foyer ( — c, o). Si l'on prend F pour origine, les coordonnées d'un point de l'ellipse sont

x == c -j- a cos ©, y = J> sin »; par conséquent

\ l N lf?

<JJa * J o ' ' '

lf? 11

= ô a^ (1 'f- e cos ?K? = ô a^'f "f- . bc sin a ,

c désignant le rapport 4° Cherchons l'aire de l'ellipse représentée par l'équation

Ay2 -f 2Bxy -f- Cx~ + 2% -f- 2E-r-+ F = 0. Cette équation donne

y = ax -\- b ± — \/«flj2 -j- 2/>flî -h 7, A

(n = B2 — AC < 0, p = BD — AE, ? = D°- — AF.)

iff. o,

Soient AB le diamètre y = ax -f- b, et x', x" les racines de

nx~ -f- 2px -f- q = 0, en sorte que

— p + Vp* — n

— p —\]p*—nqt

x' et .v" (ou .V et a-') sont les abscisses OA', OB' des extrémités A, B du diamètre.

Si Vi, y 2 sont les deux valeurs de y qui correspondent à une même valeur de x, l'aire totale de l'ellipse est (67, 3°)

rx" 2 fx"

a?') (a?" — x)dx.

Pour intégrer, nous posons

sin2 cp -f- cos2 cp

sin- cp cos- o> il en résulte

x = x' cos2 cp 4- «»" sin2 cp, o?a? = 2(a?" — a?') sin œ cos cpcfo. Aux limites x = A'', a; = A"r' correspondent les limites œ = 0, cp = £ ; donc

V — n(x"— x')2 Ç2 ' 1 — cos 4-j> , V — n (x" — a?';2

y)1 — nq

AE« + FB2 -f CD2 — 2BDE — ACF