Podaire du centre d'une conique
Si r, 0 sont les coordonnées polaires de la projection du centre sur la tangente, celle-ci a pour équation
x cos 0 -|— y/ sin 0 = r.
Elle est aussi représentée par
xx' y y1 ~tf + b2 =
En identifiant ces équations et éliminant x\ y' entre les deux égalités de condition et a2y'2 -f- b2x'2 = a262, on obtient
r2 = cv cos2 0 -f b2 sin2 0.
Telle est l'équation de la podaire du centre de l'ellipse. L'aire comprise entre les axes OX, OY et la podaire est
U = \ \ r2 dO = ]- fZ(a2 cos2 0 + h~ sin2 0) dO 2 J o 2 J o
= ] y\[a2 -f b-) -f (a2 — 62) cos 20] ^0 - 3 rJcr + 62).
Donc l'aire totale de la podaire est moyenne arithmétique entre les aires des cercles qui ont pour diamètres les axes de l'ellipse.
La podaire du centre d'une hyperbole équilatère est une lemiiiscate de Beriioulli, ayant pour équation
r~ = a2(cos2 0 - sin2 0) = a2 cos 20 :
elle a la forme d'un huit couché, les tangentes au point double faisant un angle de ïb1 avec l'axe réel de l'hyperbole. L'aire totale est
Je-
73. Folium de Descartes. — Cette courbe, représentée par l'équation
comprend une feuille OaAB&O et deux branches infinies OM,
OR (1, 159) ; celles-ci ont pour asymptote la droite x -\- y -\- 1 - 0. L'équation polaire du folium étant
3 sin 0 cos 0
= sin3 0 + cos3 6 '
le secteur compris entre OX et un rayon quelconque de la
fig. 8.
boucle a pour expression
9 r° sin2 0 cos2 0
o (sin3 e -f cos3 &)2
dO.
Divisons les deux termes de la fraction sous le signe par cos6 6 et posons tg3 0 = z; il vient
f e tg» e
Jo (i + tg
clQ
dz
3ft\2
O)2 cos2 6 2Jo(l +-)5
2[l + *Jo 2 2(l+tg30)
L'aire de la feuille correspond à 0 = v- elle est donc égale a.^
oui* aire
Le secteur OaAO, qui correspond à tg 0 = \ ty a p
Ainsi, OA et OB divisent la feuille en trois parties équivalentes. L'aire comprise entre l'axe OP, l'asymptote PX et la branche infinie OM tend vers une limite finie. En effet, l'aire comprise entre la corde OM et l'arc OM a pour mesure
JII-— 1
l+tg36je ""2(l+tg30; 2'
le triangle OPX a pour mesure
1 — 2 sin OPN sin PON 1 sin 135° sin 6 1 1
2 ~sin ONP " 2 sin (6 — 135°) " 2(l+tg6) "~ 2'
faisant la différence on obtient
tg6-2
2(tg*e-tge + i)
et passant à la limite pour tg Q = — 1, on trouve - •
Donc les droites OP, OQ divisent en trois parties équivalentes Taire comprise entre l'asymptote PQ et les brandies infinies OM, OR.
Rectification des courbes.
