AM = MR + ^2(AR

2° Si la parabole roule sans glisser sur une droite fixe, le foyer décrit une chaînette.

En effet, soient m, f les positions des points M, F lorsque l'arc AM a roulé sur AY, et prenons sur la tangente AIT la longueur Ma= mX. Les coordonnées (Y, X) de /"par rapport aux axes AX, A Y sont égales à ail et RF, car RF est perpendiculaire à TM; on a donc

X=RF=^VyMrP2,

Y = AM-MR=^^iA/Z±Z.

La dernière relation donne

y + \!y2 -\-pz = peV \

d'où en multipliant les deux membres par \' y2-\-p2 —p :

\J y2 +pz — y=pe p;

puis, en combinant les deux égalités par addition :

Le premier membre est égal à 4X : donc la courbe décrite par le foyer F a pour équation

c'est donc une cliainette, de paramètre ~ (I, 337).

76. Arc d'ellipse. — Soit BM = s l'arc d'ellipse compris entre le sommet B du petit axe et un point quelconque M ayant pour coordonnées x = a sin ©, y = b cos vjfig. 4)- Nous aurons en

posant - = k :

s = I r \]dx* + dy% = y \ldl cos2 o -f b*~ sin2(p ch

= ( r V«~ -T ^l>m2o <*p = « j r \ 1 — kz sin2 <© <&>.

En considérant l'intégrale comme une fonction de la limite supérieure -f et du module k, Legendre a posé

E(A, cp) = j r \ 1 — A2 sin2 cp dy.

La fonction E(A, cp), appelée fonction epsilon ou intégrale

elliptique de seconde espèce, ne peut être ramenée aux fonctions

î élémentaires. Mais en développant (1 — A*2 sin2 cp)2 par la formule

du binôme :

Il 1 13

(1 — li- sin2 cp)2 = 1 — - k2 sin2 cp — s - h* sin4 o — — ^-— - £G sin6 sa

— ... -— -^- ^ /v2nsin2no — ... ,

et intégrant la série ainsi obtenue (30), on peut obtenir E(Â', cp) avec une approximation aussi grande qu'on veut.

Soit / le périmètre de l'ellipse ; on a, d'après ce qui précède :

£Vr=*

l = Aa \ VI — A2 sin2 «> cfa

\a [l (\—\ k- sin2 cp — J- k* sin4 cp . . . W Jo \ 2 2.4 / '

Or (31)

par conséquent

J = 2-ft

'ir '-(,:, )»•-(,:;">-■'

On appelle intégrale elliptique de première espèce et on désigne par F (A*, ©) {fonction digainma) l'intégrale

o \/l — £2sin2 o '

pour la calculer on développe en série (1 — k2 sin2 <?)~2.

Comme A < 1, on peut poser A = sin 6. On appelle o l'amplitude, A le module, 0 l'angle du module des intégrales E(A, ©), F(A, tp). Les tables de Houël donnent les valeurs de E'A, ©) et de log F(A, cp) pour les valeurs successives des angles cp et o exprimées en parties du quadrant, de dixième en dixième de quadrant.

Exprimons l'arc d'ellipse en fonction de l'abscisse x. On a

Y a2 — ju~, dy — —

bxdx

d'où

a\dl — x'

ds~ = dx2 -f- dy2

eu posant - = k, -- = X on obtient a a

CV'r-S1-

77. Arc d'hyperbole. — Soit s l'arc d'hyperbole commençant au sommet. Les coordonnées d'un point de la courbe étant

x = a séc 0, ?/ = & tg

on trouve facilement

Va2 sin2 6 -f èi „ COS--8

Intégrons par parties en prenant dv = — ; il vient

s= tgO\'a2sin2Ô + 62 j

ac sin-

<iï.

.'o V«2 sin2 6 + 62 Remplaçant le numérateur par (a2 sin2 6 -f- 6e) — £2, on trouve

=tgô\/a2sin20-f 62 — \/ a2sin26 + ô2tf0-f b2

- ° Jo Va2 sin2 6 + 62

Le second ternie de s est un arc d'ellipse, car il est égal à

a2 sin2 6 -}- 62(sin2 6 -f- cos2 Q)dO = \ \/c2 sin2 0 + b2 cos2 6 rfO.

a- si

Le dernier ternie de s se ramène à une intégrale elliptique de première espèce; en effet, si l'on fait 0 = - — cp, on trouve

/a2sin20 + 6--

ti. —

= p çfy i rk do

J ? \Ja*(l— sin2<?) + 62 "" cj ^ > g^

où c désigne \/a2 -f- b2, et A- le rapport - • Ce terme est donc égal à

78. Limaçon de Pascal. — L'équation étant r = a cos 6 -f- b, on trouve pour l'arc ayant son origine sur l'axe polaire :

jy^n*

+ 2a&cos6o?0

= ("° Y'' (a2 + 62) f cos2 * 6+sin2* e) + 2«//cos2 î 6 — sin2 i 0 W Posons a + 6 = a, a — a = |3, 0 = 2<p; alors

= 2 Va2 cos2 ? + P2 siu2 ?<*?•

L'arc de limaçon s'exprime donc par un arc d'ellipse. Si b = a, on a une cardioïde ; dans ce cas,

s= \ \/2a2 -jr 2a2 cos 8 cffi = 2a j ° cos } 0 cfl = 4a sin * 0.

Le demi-périmètre de la courbe correspond à 6 = - ; il est donc égal à 4a.

79. Fenêtre de Viviani (*). — Soient OA, OH, OC dois rayons rectangulaires d'une sphère. Construisons un cylindre droit (cylindre de Viviani) ayant pour base le cercle décrit sur Oxl comme diamètre dans le plan AOB ; ce cylindre coupe la sphère suivant deux courbes fermées. La portion de la surface de la sphère limitée par l'une de ces courbes est appelée fenêtre de

Fi g-. 9.

Viviani. Dans la figure 9, la moitié d'une fenêtre est représentée par OMAN.

Cherchons la longueur de l'arc CMA. Les coordonnées d'un point M de cet arc sont, si l'on désigne par 0 l'angle POA=POMf *) et par a le rayon de la sphère,

z = MP — a sin 0, x = OQ = OP cos 0 = a cos2 8, y = PQ := OP sin 6 = a cos 0 sin 0. On en déduit

d.r = — a sin 26^0, dy = a cos 2^0, dz = a cos $db,

par conséquent

ds- = a\l -f cos2 6)t/02 = (a2 sin2 0 -f 2a°~ cos2 6)d6.

(*) Viviani (Vincent), né à Florence en 1622, mort dans la même ville en

(**) De l'égalité des angles PO A, PO M on déduit que la courbe de Viviani est le lieu des points de la sphère dont la longitude est égale à la latitude, les cercles AB, ANC étant pris pour équateur et pour premier méridien.

L'équation z = a sin 6 montre que dans le développement de la surface latérale du demi-cylindre APOCMA sur le plan tangent en A à la sphère O,

la courbe AMC se transforme en un arc de sinusoïde I y = a Sin I.

L'arc AMC a donc pour expression

f2 \Vsin2e + 2a2cos-fn/0 = m 2.vl ,} > 'A

il est égal au quart du périmètre d'une ellipse ayant pour axes 2a et 2ai/2.

Solides de révolution.

80. Formule de cubature. — Soit y = f(x) l'équation d'une courbe plane AB rapportée à deux axes rectangulaires. Considérons l'aire A.VB'B comprise entre cette courbe, deux ordonnées Ai', BB' et l'axe OX, et proposons-nous de chercher le

Fis io.

A' ÎT N* B' X

volume Y du solide engendré par cette aire lorsqu'elle tourne autour de l'axe OX.

Partageons A'B' en un certain nombre de parties, et sur chacune de celles-ci comme base construisons un rectangle ayant pour hauteur l'ordonnée de la courbe qui correspond à sa première extrémité. Soit MM'N'/n l'un quelconque de ces rectangles et appelons x, y les coordonnées de M, dx l'accroissement M'X' de son abscisse. Lorsque la figure tourne autour de OX, le rectangle MM'N'/n engendre un cylindre qui a pour mesure nyzdx.

Si les parties de A'B' décroissent indéfiniment, la somme des cylindres engendrés par les différents rectangles tels que MM'X'/n tend vers une limite déterminée, indépendante du

mode de partage de A'B' et représentée par | x~y2dx, où OA' — a,

OB' = x (43).

Cette limite étant, évidemment, le volume cherché, on m la

formule

Remarques. — I. Si l'on mène AA", BB" perpendiculaires à OY, le volume engendré par l'aire AA"BB" tournant de OY est donné par la formule

Vf=7î \yh xhhj = 7t \^x°~f\x)dx.

La première intégrale suppose qu'on remplace x par sa valeur en y,

II. Si une courbe fermée, entièrement située d'un même côté de OX tourne autour de cet axe, le volume engendré a pour expression

où 3*j, y sont les valeurs de y qui correspondent à une même valeur de x; les limites x', x" sont les valeurs extrêmes de

l'abscisse.

81. Formule de quadrature. — Soit à trouver l'aire S engendrée par l'arc AB tournant autour de OX. Inscrivons à l'arc une ligne polygonale. Cette ligne, en tournant avec AB, engendre une aire composée de surfaces latérales de troncs de cône Si MX est un coté de la ligne inscrite et que (x, y), (x -j- Aa\ y 4- Ay) désignent les coordonnées de ses extrémités, l'aire engendrée par la droite MN" est égale au côté MX multiplié par la demisomme des circonférences des bases du tronc ou égale à

2~ ( y + ô Ay )MX. L'aire cherchée S est la limite de la somme

des quantités analogues évaluées successivement pour tous les côtés de la ligne polygonale.

Dans la recherche de cette limite, on peut négliger les termes -Ay.MX qui sont du second ordre, et remplacer la corde MX par l'arc MX = As ; il en résulte

S = lim S2icyA* = 2* [\p ds = 2- f* y\J\ | V2 dx.

82. Volume engendré par une cycloïde (fig\ n). — 1° Faisons tourner une cycloïde AMB autour de la base AC. Les

Fier. ii.

coordonnées d'un point M par rapport aux axes AC, AD étant

x = a(0 — sin 6), y = «(1 — cos 0), le segment APM engendre le volume

V = 7T \' y* dx = Tza? \ (1 — cos 0)3 ds

= Tra3 j"6 (1 — 3 cos 0 + 3 cos2 0 — cos3 o) ds.

-n i 2 n 1 -|- COS 20

Remplaçons cos2 0 par - — .— - > cos3 o par cos 0 (1 — sin2 q) ;

il vient

-a3 f ;~ — 4 cos 0 + - cos 20 -}- sin2 0 cos 0 jds

= -a3 (- 8 — 4 sin 0 -f ? sin 20 + ^ sin3 0^

Le volume engendré par une arcade entière s'obtient en intégrant entre 0 et 2~; il est donc égal à 5~2a3.

2° Faisons tourner la demi-arcade AMB autour de la normale BC. Si l'on prend pour axes BD, BC, les coordonnées de M sont

X = BQ = CA — PA ■= rt(- — 0 -f- sin o), Y = MQ = PQ — MQ --= a{\ + cos o) ;

Le volume engendré par le triangle mixtiligne BAIL tournant autour de BC a donc pour expression

V = ~ I J X.~dY = Ta3 I r (o | sin cp)2 sin œ do

== iza3

ff O2 sin co 4 ?o sin2 cp 4 sin3 o) ch,

2<p sin2 çprfcp = I <p(l — cos 2<p)«fo =9?2 — s ? sin 2<p — . COS 2cp;

sin3 cpcfy = 1(1 — cos2 'f ) sin cpcty = — cos <p 4- - cos3 <p .

On en conclut

V = va1

cos cp ) -f- 'f .sin <p(2 — cos <p) 4- cos 'f

— -cos2<p 4-3 cos3 cp— j^

Le volume engendré par la demi-cycloïde correspond à <p = tc;

on trouve -rca3 ( - -k2 —

83. Aire de l'ellipsoïde de révolution. — Faisons tourner autour de l'axe OX l'arc BM {fig. 4)- Comme

y — ~\j a2 — x2 , dy =

\J\Xj LIJU

rt\/a2 — °°2

on trouve facilement

S ■= \*2~i/ds = % C \/a4 — a2x2 4- b2x2 dx. J o «2 J 0

Nous distinguons les deux cas dea> /) (ellipsoïde allongé ou ovaire), et a > 6 (ellipsoïde aplati ou planétaire). Si a > Z>, nous posons a2 — Z>2 = c2; alors

s-jwj^i-iÇ*,.

Faisons encore -^ =0; nous aurons (13) a

7Tft2£

arc sin

* + *Vi— **)■

Neuberg — A 71. //l/"., //.

Pour avoir. l'aire totale, on intègre entre x — 0 et x — a, on entre z = 0 et 2 > puis on double le résultat. On trouve ainsi:

S = are sin -}- 2nbl.

Si a < by posons b2 — a2 = c2, *., = s; il vient (13)

-rt2/>

L'aire totale a pour expression

A i + z2 + i *+Vi+*') •

L'une et l'autre des valeurs de l'aire totale prennent la l'orme

indéterminée lorsque 6 = a, c = 0; ce qui est le eas de la o

sphère. Mais en levant l'indétermination on trouve 4ira2.

Volume d'un solide a bases parallèles.

84. Formule générale. — Considérons un solide terminé par deux plans parallèles P, Q {fig. 12). Soient OA - a, <>B — b. OM - s les distances d'un point fixe () aux bases P, <i et à une Fig. 12. Fi g'. i3

section quelconque V parallèle aux bases; nous supposons que l'aire de cette section est une fonction connue cp(s).

Divisons la droite AB, d'après une loi quelconque, en un certain nombre de parties. Par les points ,de division, menons des

plans parallèles à P ; et sur chaque section du solide par l'un «le ces plans et sur la base I* construisons un cylindre terminé an plan suivant. Le cylindre construit sur V a pour expression

Lorsque les divisions de AB décroissent indéfiniment, la somme des cylindres tend vers une limite déterminée, représentée par \\(z)dz. Cette limite est le volume du solide considéré.

Remarque. — Si 2, désigne la distance d'un point fixe 0 à une section U, comptée sur nue droite Oz1 qui fait avec la normale Oz aux bases P, Q l'angle e> et si y(zx) est l'aire de P, on a

U = cos e ^(Z^dz^.

J ai

Car le cylindre construit sur U a pour hauteur As, cos o.

85. Omniformule de cubature. — Lorsque ®(z) est de la forme As3 4- V>z2 + Cz + D ou Bz2 -f- Cz + D, le volume dn solide peut s'exprimer en fonction de la hauteur AH — h, et des aires P, Q, R des bases et de la section menée par le milieu de la hauteur.

Comme l'expression de l'aire d'une section reste une fonction dn troisième ou du second degré lorsqu'on déplace l'origine O, nous supposons ce point situé dans le plan P ; alors