V - | v(z)dz = * (:U//3 + 4B/r + 6Ch 4- 12 D)//. J o
Mais
P = cp(o) ---= I), Q = y(h) — A/*3 + BA2 -f Cfl + D
Pv = *Q) = i (A/<3 -f 2BA2 4- 4C/< 4- 8D) ;
ces relations donnent
2P 4 2Q 4- 8R = 3AA3 4- 4BA2 4- 6Cfl -h 12D. On en conclut :
Cette formule est appelée o m ni for mule de cubât lire on règle des trois niveaux (*). Elle s'applique an tronc de pyramide à hases parallèles et au solide compris entre deux rectangles a côtés parallèles et quatre trapèzes.
86. Applications. — 1° La formule {[) s'applique au volume limité par une surface du second ordre et deux sections elliptiques parallèles (fig. i3). Car si l'on prend pour axes coordonnés les axes principaux de la base P de ce volume et le diamètre conjugué, l'équation de la surface est
mx2 -f- ny2 = pz2 -f- qz -j- r\
les demi-axes d'une section parallèle au plan xy et ayant pour équation z = zv étant égaux à
Vpz\-\-qzl -f r *lpz\ + qz
l'aire de cette section est
\ mn
(pz\ + qz, +*•).(**)
Par exemple, pour avoir le volume d'un ellipsoïde, on le
considère comme compris entre les plans tangents menés par
les extrémités d'un axe principal ; on prend donc P = 0, Q = 0,
E = ~ab, h = 2c, ce qui donne V = ^ itabc.
2° Considérons le solide (fig. i/f) qui a pour bases deux triangles
Fig. 14.
(*) Voir Journal de mathématiques élémentaires, 1886, p. 79 et 1S87, p. 17 : Nouvelles Annales de mathématiques, 1880, p. 529; Mathesis, 1897, p. 103.
(**) Cette aire est donc une fonction du second degré de la cote sl de la section, cote qui ne diffère de la distance de la section an plan P cpie par nul acteur constant (84, Remarque.).
ABC, A'B'C situés d'une manière quelconque dans deux plans parallèles, et qui est limité latéralement par les surfaces qu'engendrent les côtés d'un triangle A"B"C" dont les sommets se déplacent sur les droites A V, H H', CC, et dont le plan reste parallèle aux bases ABC, A'B'C. Ces surfaces sont généralement des paraboloïdes hyperboliques.
Prenons deux axes rectangulaires OX, (.) Y dans le plan ABC, et un troisième ()Z perpendiculaire à ce plan. Soient
| x = mz -f- p, j x = m!z -f- p\ i x = m"z -f- 1>' ,
\ y = m -f- q ; ( // = wrs -h 7'; f // = n"z +7",
les équations des droites AA\ BB', CC L'aire A"B"C" se projette sur le plan xy en vraie grandeur ; elle a donc pour
expression
mz -f- p nz -\- 7 1
rn'z + p' n'z -h 7' 1
m"z -h p" ri'z + 7" 1
ou As2 h B^ -f C, A, B, C désignant des constantes. La formule (1) est donc applicable au solide considéré.
3° Plus généralement, soit ABCD... un polygone plan donné, et soient AA', BB', CC, DD', ... des droites menées par les sommets et terminées en A', B', C, D', ... à un plan parallèle au plan ABC. Supposons qu'un plan parallèle au plan ABC coupe ces droites en A", B", C", D", ..., et construisons le polygone A"B"C"D"... Xous pouvons imaginer un solide ayant pour bases les polygones ABCD... et A'B'CTV ..., et pour sections les polygones A"B"C"D" .. ; la surface latérale de ce solide se compose de portions de paraboloïdes hyperboliques ou de plans. Le volume est donné par la formule (1); car il est la somme de solides de l'espèce considérée au 2°, ces solides ayant pour bases les triangles ABC et A'B'C, ACD et A'Cl)', etc.
4" La formule (1) s'applique également au solide compris entre une surface réglée et deux sections parallèles qui sont des courbes fermées. En effet, si l'on inscrit dans l'une de ces courbes un polygone ABC... et qu'on mène les génératrices A A', BB', CC1', ... de la surface, terminées en A', B', C, ... à la seconde courbe, on trouvera, en faisant tendre les côtés du polygone ABC... vers zéro et en passant à la limite, la formule (1) pour l'expression du volume du solide considéré.
Exercices et notes.
1. On donne {fig. i5) une circonférence A, un diamètre AI) et la tangente A' en D. Une sécante quelconque menée par A rencontre A en M, A' en N : on prend sur AM la longueur AI* -MX. Le lieu de P est une cissoïde de Diodes, avant un rebroussement en A et pour asymptote la droite A'; son équation est
x3 a si n- 0
> oit /•
cosO
Trouver 1° l'aire comprise entre AD, l'arc AP et l'ordonnée PQ de P :
Fig. i5
2° l'aire comprise entre l'arc AP et sa corde : .">° le volume engendré par le segment APQ tournant autour de AI) : 4" le volume engendre par le segment A.PQ'D tournant autour de A', PQ' étant perpendiculaire à A'. Réponse. 1" Une intégration par parties donne
I fx -
T - — 2x(ax — x2)i -4- S \ ax — x2 dx ;
pour la dernière intégrale, voir £ 13. L'aire comprise entre la cissoïde et
A , :\-a~ 1 asvmptote A' = -
TT 1 2 fô(l -cos28)2
2 } o cos2 0
Cx x5 :;. V = - I dx; effectuer la division de xz par — .v \-a ...
J o rt — x
4" V ■= îc I (a — X)2dXf\ une intégration par parties donne .' A
V = - (a — x)2 y -f- 2~ f* (a — œ)y dx . . .
La cissoïde entière et le cercle A. en tournant autour de A', engendrent des volumes égaux théorème de Slu/ei (*).
O Voir Mathesis, t. VI, pp. 241, 245 et 273, et t. VII, p. 5.
2. On prend sur MA fig 10) un segment Mil — XM : le lieu <U R est nne strophoïde ayant pour équation
a cos 26 4 /« — x
ou // = a? \/ cos 0 il a -\- x
Cette courbe est formée d'une boucle et <le deux branches ayant pour asymptote la symétrique de A' par rapport à A ; les tangentes au point double A sont inclinées de 45° sur Al).
L'aire de la boucle = 2a2 — ~al\ l'aire comprise entre les branches infinies et l'asymptote — 2a2 f - ira8; le volume engendré par la boucle
tournant autour de AI) = 2ira3 ( 12 — - I.
3. On construit sur MX (fig. lo) le triangle M IX dont le cote MI est parallèle à A', le côté NI perpendiculaire à A'. Le lieu de I est la courbe
* la — x m d A g- ne si ayant pour équation ?/ = «%/ • I rouver 1 aire comprise
entre DA, l'arc 1)1 et l'ordonnée IS.
(il 4 a — x \/ dx\ poser x = a sill- cp, etc.
4. On donne une circonférence A et un diamètre AB. Une circonférence ayant A pour centre coupe la courbe en M, M' et le diamètre AB en X, X'. Le lieu des milieux des droites MX, MX', M'X, M'X' se compose de trois boucles. Trouver Taire de chacune de ces boucles.
L'équation de la courbe est r = a cos 0 cos 26. La boucle intérieure à A a
pour aire -4- - .
5. On donne une circonférence A et un diamètre AI) (fig. i5). Soit MS la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M de A sur Al). On projette S en T sur la corde A M, et T en K sur l'ordonnée MI\ Le lieu de K est représenté par les formules (cp = angle MAB
x = a cos2 cp, y = a cos3 a *in cp.
L'aire totale limitée par cette courbe est la moitié de celle du cercle donné.
6. L'aire limitée par la courbe x2î/z = (a — x) (x — h) a pour mesure -il a — i b)2.
7. L'aire limitée par l'un des ovales de la courbe x2i/2 = (a2 — x-)(x* — b2)
est égale à (a — b)2.
8. L'aire limitée par la courbe y- = x2 (a — èc) (x — b) a pour mesure lia -b)2(a + b).
9. Trouver le volume engendré par une arcade de sinusoïde (y = sin x i tournant autour de OX ou autour de la normale au sommet.
Réponse : 1° 9 • 2° ^ 0G% Slll
x dx = -- — 2~.
10. Volume et surface engendres par la chaînette y = - ie% rf- e ^tournant autour de OX ou de OY.
Soient A le sommet, P et Q les projections d'un point quelconque M de la courbe sur les axes OX, OY. Le volume engendré par le segment OAMP tournant autour de OX a pour mesure
ra3 / 2A 2x 4X
—— le* — a a 4- 8 V a,
i-tl~ I IX
la surface engendrée par lare AM a pour expression ( e '* — e a 4-
Le segment AMQ tournant autour de OY, on a
a;2 tfy = -x'~)./ — 2~ xy dx:
= - crx (c,a — e a ) — (ga — e a Jdx, ...
L'arc AM engendre une surface ayant pour expression
2~ I xds — - I xle'd 4- e a)o&»,
etc
11. Trouver le volume compris entre la surface de l'hyperboloïde à une
nappe 1- yz = 1, le ])lan xy et une section parallèle.
12. Volume compris entre les surfaces de l'hvperboloïde — 4-' — - = 1
ct de son cône asymptote, et deux plans parallèles au plan xy.
13. D'un point quelconque M d'une circonférence A, on abaisse une perpendiculaire MP sur un diamètre fixe AB. Calculer l'aire et le périmètre de la courbe, lieu de la projection de P sur la tangente en M à A.
Les coordonnées d'un point de la courbe sont (a = angle MO A)
x = a COS a( 1 4- sin2 a), y = a sin3 a.
L'aire totale = - -a2 ; le périmètre = 2a 1 „ „ . 8 \ o\ .\j
