Trouver l'aire du secteur d'une conchoïde de Xicomède

U = l Pf — -à) c», etc.

2 J o Vcos ^ J

19. L'arc de la courbe Sa2!/2 = x2(a2 — x2) a pour expression

(26 + si11 6 cos 6), où x = a sin 0.

20. L'aire comprise entre la courbe y~(a — x) (x — b\ — k-x~ = 0 et ses asymptotes x = a, x = b a pour mesure -xk(a -j- 6).

21. Une droite AH de longueur constante glisse entre deux droites OX,OY. Un point C de AB engendre une ellipse qui a pour aire - .CA.CA. (Steiner.)

Si l'on pose CA =a, CB = b, angle BAO = ©. angle YOX == f), les coor-

données de C sont x =

6 sin (6 '+ y)

sin 0

aire

ydx,

«sin»

y = . ' ; la denn-ellii)sc a pour sin 0

etc. (*)

22. Une droite AB de longueur constante glisse entre deux droites xx', yy' non situées dans un même plan. Trouver le volume qui est compris entre les droites xx1, yy' et la surface engendrée par AB.

(*) Pour les exercices 21 et 22, voir Mathesis, t. I, pp. 179-182, et t. II. ]>. 37. Pour l'exercice 23, voir Mathesis, t I, p. 128 et Journal de Mathématiques spéciales, 1880, p. 277, et 1887, p. 75.

Appliquer l'ex. 21 et le S 85 en observant que tout point de AB engendre une ellipse.

23. Soient A.A' = a un diamètre d'une circonférence A, A' une droite perpendiculaire à A.V. D'un point quelconque M de A on abaisse une perpendiculaire ML* sur A'. La droite AI* et la parallèle à A' par M se coupent en \. Le lieu de N est une piriforme, avant un rebrousseinent en A : il a pour équation

où /» est la distance de A à A . Trouver l'aire totale de cette courbe. On a

]>oser .v — n cos- cp, etc.

Toutes les pirit'ormes qui se déduisent du même cercle générateur A ci de différentes positions de A', sont des courbes affines : les ordonnées qui correspondent à une même abscisse sont inversement proportionnelles aux valeurs de b. Lorsque A' passe par le centre de A, l'aire de la piri forme est égale à celle de A : car la somme de deux cordes perpendiculaires à A.V et symétriques par rapport à A' est égale à celle des cordes correspondantes de A. Cette remarque donne immédiatement l'aire de la piriforme générale.

24. Du pied de l'ordonnée MP d'une ellipse on abaisse une x^erpendiculaire sur la tangente en M. Trouver l'aire de l'enveloppe de cette droite.

25 Une droite AI> roule sur une courbe convexe A: l'extrémité A est le point de contact et la longueur AP> varie d'après une loi connue. Si par un point fixe A on mène une droite OC qui est constamment parallèle et égale a AIL les droites OC et AB engendrent des aires égales. (Steiner.)

Applications. — I. On porte une longueur constante m sur la tangente à une ellipse. L'extrémité de cette longueur engendre une courbe ayant pour aire ~ <t/> j m2).

IL On projette un point quelconque M d'une ellipse sur la tangente au point M' diamétralement opposé à M. La courbe engendrée par la projection a pour aire Ë -|- 4(P — L, où L est l'aire de l'ellipse, P l'aire de la podaire «lu centre.