La surface engendrée par la cardioïde

x = a(2 eos -/ — cos 2«), y = a(2 sin a — sin 2a)

tournant autour de OX a pour mesure ira2.

Quadratures approchées.

87. La détermination des aires, des longueurs des ares, etc., se ramène à une ou plusieurs intégrations relatives à une seule variable; lorsque ces intégrations sont impossibles sous forme finie, on a recours à des formules d'approximation.

Une intégrale définie | f\x)dx, représente l'aire U comprise

entre la courbe y = f(x), l'axe OX et les ordonnées AA', BB' correspondantes aux abscisses a, b \fig. i(>). Divisons la base

Fisc. i#.

AJB' en n parties égales aux points C, I)', . ., et menons aux points de division les ordonnées C'C, D'D, .... Si l'on appelle y0, y,, y,, ..., yn les ordonnées A'A, C'C, I)fI), ... 1VB, et h l'une des parties de A IV, la somme des trapèzes rectilignes AA'C'C. CC'D'D, ... a pour expression

.,!//,. -1-2//., +-2?/2 h ••• +2y„i h.Vn).

(T) est une première valeur approchée de U.

Au milieu de chacune des divisions A'C, ("I)', .. menons une ordonnée de la courbe; soient y\, y'.,, ... y'n ces nouvelles ordonnées. Si à l'extrémité de chacune d'elles on mène la tangente à la courbe et qu'on limite cette droite aux deux ordonnées primitives voisines, on obtient une seconde suite de trapèzes rect dignes (dont nous n'avons dessiné que le premier, ///A 'C'y/ ayant pour somme

U2 est une seconde valeur approchée de U.

Supposons que l'arc AB soit, dans toute son étendue, concave ou convexe vers l'axe OX ; alors U est compris entre U^ et U2.

On peut prendre pour valeur approchée de U toute valeur intermédiaire entre XJX et U2, par exemple la quantité

Cette valeur U3 est due à Thomas Simpson. On l'obtient encore en remplaçant les arcs AC, CD, ... de la courbe proposée par des arcs de parabole passant respectivement par les extrémités des ordonnées (y0, y',, y,), (ylf y'.>, r,), ... (y„i, y'„, yn), et ayant leurs diamètres parallèles à OY. En effet, considérons (fi g, 16) l'aire limitée par une droite P'Q', deux perpendiculaires P'P, Q'Q et un arc de parabole PRQ dont l'axe est parallèle à P'P. Prenons pour axes coordonnés P'Q,' et la perpendiculaire 1 R au milieu I de P'Q', et désignons la longueur VQ' par 21, les ordonnées P'P, Q'Q, IR par/?, <j, r. L'équation de la parabole

étant de la forme

y = Aar8 +'2Ba? -f-C,

l'aire PP'Q'Q a pour expression

( kx* + 2Bx + C)dx = r ; +Ba?£ + Cflf

Les ordonnées j), r, y correspondent aux abscisses — /, o, /; donc

p -= kï — 2\U + C, o = kl~ -f 2B/ + C, r = C,

d'où Ton conclut

PP'Q'Q =^ + q + 4fJj.

En appliquant cette expression aux différents trapèzes curvilignes tonnes par les ares de parabole, OX et les ordonnées CVoi Xi)> (.Vu Xz)» •■ > on trouve

g '.'/„ f 4y', H-yO, g (y, -r l//, 4-.y2), ...;

la somme de ces quantités est égale à U3 (*;.