INTÉGRALES CURVILIGNES

88. La notion d'intégrale définie peut être présentée sous une forme qu'il est utile de signaler, bien qu'elle n'implique aucune idée nouvelle.

Soit F(.\\ y) une fonction qui prend en chaque point (.\\ y) d'une ligne donnée AB une valeur bien déterminée. Divisons l'arc AB en un certain nombre d'intervalles par les points de subdivision A,, A2, ..., An-i, et appelons (.v(1, y0), (xlf y,), ..., .v„ -i, yu-i), (X, Y) les coordonnées des points A, A,, ..., A„ i, B. 11 est facile de voir que la somme

S F< '•„, ?/o)(#i — ^o)-fF(^i»yi)(^2 — a?1)4-...4-F(^n-i,yn-i)lX— a?B i)

tend vers une limite déterminée quand le nombre n augmentant indéfiniment, les intervalles tendent vers zéro.

En effet, prenons d'abord le cas le plus simple où à une valeur de x correspond un seul point de l'arc AB. Soit y = ©(#) la valeur de l'ordonnée et représentons F[x, ©(#)] par /'(.vl La somme considérée pourra s'écrire

f(0C0)(û0y — 000) -h f{xl)(x2 — XY) -f ... 4- /*(#n-l)(X — a?n-l) î

donc, d'après un théorème connu, elle tend vers une limite

déterminée, représentée par \' j\x)(L\.

Dans les autres cas, on peut partager l'arc de courbe en différentes parties pour lesquelles à chaque valeur de a* ne correspondra qu'une valeur de y, et calculer l'intégrale sur chacune de ces parties en remplaçant y par la fonction ®(x) correspondante; la somme des différents résultats sera la limite de S.

(*) Pour cette question on peut consulter .Vathesis, t. I, p. 17.

La limite de s se représente par le symbob

jcF(*,y)dx,

011 C désigne l'arc A B ; on dit que c'est une intégrale curviligne

prise le long- de la ligne C, depuis A jusqu'à I>.

Remarques. — I- On définira de même les symboles J>V,//H>/, fcF(r,*)cR, j"cF(r,6)rfrf

où /\ '.' sont les coordonnées polaires d'un point de la ligne AI».

II. La courbe C est quelquefois définie par deux égalités de la forme x = »(£), r = <f>i(f) et l'arc AB s'obtient »jn faisant varier / d'une manière continue de t0 à tx. Alors on a généralemenl

89. Nous allons éclaircir les notions précédentes an moyen de quelques exemples.

1° Si la fonction F(x, y) se réduit à ;/, l'intégrale |(. F(x, y)dx

représente une aire.

Prenons pour C une courbe fermée, par exemple l'ellipse de la figure 5 (p. 83;. Sur Tare supérieur AD B, l'ordonnée de la courbe est

yx =■ ax -f 6 + \nx2 [ 2poc \- q,

A et sur l'are inférieur BEA, elle est

y 2 = a# + ô — \ ma*2 + ?pa? | 7 :

nous avons donc

de sorte que \cydx représente bien l'aire de l'ellipse.

2° Si l'on fait varier cp de 0 à 2~, le point (a cos », & sin ») par court une ellipse ABA'IVA {flg. £), et le symbole

C 7 • -, / "'- ('os 2»~|2~ ,

?/ c/,r — - — 6» sm » . a sm 9 ch == — «6» '- — — -— i = — r.ao

Je Je L2 . 2 Jo

donne l'aire de l'ellipse changée de signe. Ce résultat s'explique facilement : l'élément ydx est négatif sur l'are A HA' parée que dx est négatif, et aussi sur l'are A'B'A à cause du signe dey.

3° Le symbole ~ (xdy — ydx) représente l'aire bala3Tée par

le rayon OM dont l'extrémité M parcourt la courbe C; mais il Fig. 17. Fig. 18.

faut considérer un élément OMM' de cette aire (secteur coinpris entre deux rayons infiniment voisins OM, OM') comme positif ou négatif suivant que la rotation du rayon générateur a lieu dans le sens qui amène OX sur OY ou dans le sens opposé.

Par exemple, si l'on applique le symbole à l'ellipse (fig. Ij) représentée par les formules

a f « cos cp, y = p 4- & sin rf ,

l'élément -. (xdy —ydx) est positif sur l'arc ABT, négatif sur

l'arc TBT', positif sur l'arc T'A ; donc le symbole est la différence des valeurs absolues dee secteurs OT'AT et OTBT', ou l'aire de l'ellipse. Effectivement,

xdy — ydx — (a -f- a cos <p) . b cos «pofo -f- (3 4- b sin cp) a sin cprfœ = abd<f -j- xb cos wh -f- «P sin ydy,

d'où

- J (a% — ydx) = -

a£><p -j- a& sin cp — ap cos cp

= ~ftè.

vSi l'origine des coordonnées est à l'intérieur de la courbe, tous les éléments de l'intégrale sont positifs, et leur somme donne encore l'aire r.ab.

4° Si l'on prend pour F(a\ r) la fonction nyz, \cny2dx représente un volume de révolution autour de l'axe OX; De même |c r.x2dy représente Un volume de révolution autour de Taxe O Y.

Appliquons le dernier symbole à l'arcade OAB (fig. 18) de la sinusoïde qui a pour équation y = sin x, x variant de 0 à -. L'élément de volume izx2dy est positif sur l'are OA, négatif sur l'arc A H ; par suite le symbole est la différence des volumes engendrés par les aires OBAD et OEAD tournant autour de OY ou le volume engendré par l'arcade OAB. Ce volume est affecté du signe — si l'on intègre entre 0 et -.

Un calcul facile donne

-x'zdy = 7t I x2 co*X(/.r

= - I x2 sin x -f- 2x cos x — 2 sin x - 2~2.