CUBATURE DES SOLIDES EX GENERAL

90. Formule de cubature en coordonnées rectangulaires. — Considérons (fig. ig) une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à l'axe OZ et s'appuient sur une courbe fermée C, située dans le plan XOY, et cherchons le volume V qui est limité latéralement par cette surface cylindrique, inférieurement par le plan XOY" et supérieurement par une portion de surface courbe continue S ayant pour équation

NEUBERG, il il'. ////'., //. 8

- ii4 -

Divisons l'aire de la base C eu un nombre très grand de rectangles très petits au moyen d'une série de parallèles à OX et d'une série de parallèles à OV. Construisons ensuite sur chacun des rectangles comme base un parallélipipède droit, que nous limitons supérieurement à la surface S. Pour plus de facilité nous avons reproduit à part, en abcda'b'c'd', un de ces parallélipipèdes; il correspond par exemple au rectangle ombré de la

Fi g: kj.

première figure. Soient x, y, z les coordonnées du point a' de la surface S, et Aa% \y les côtés ab, ad du rectangle abcd. Menons encore par a' un plan parallèle au plan XOY et coupant les arêtes bb\ cc\ dd' en b", c", d"; le parallélipipède abcda'b'c'd" a pour mesure cA.vAy. Le volume cherché V peut être considéré comme la limite vers laquelle tend la somme des parallélipipèdes analogues à abcda'b"c"dll9 lorsque les dimensions des rectangles dans lesquels on décompose la base C, tendent vers zéro (*). Pour exprimer cette relation, on écrit :

■V = f| zdxdy,

ou en remplaçant z par sa valeur :

y = || f[oc, y) dxdy ;

("j Cette proposition peut être établie en toute rigueur ; voir par exemple les Traités d'Analyse par Jordan, Picard ou Appeix.

les deux signes ( indiquent que le calcul de V par cette formule exige deux intégrations successives.

L'expression ( J f(x,y)dx dy est appelée une intégrale double, et on dit qu'elle doit être étendue à Vaire de la courbe C.

Pour la déterminer, évaluons d'abord la somme ï de tous les filets prismatiques zdxdy qui ont pour base l'un des rectangles compris entre deux parallèles mm" et un" à l'axe OY, situées aux distances Om == x, On = x -\- dx de l'origine; cette somme donne une tranche de volume m'n'm"nnp'q'p"q" comprise entre deux plans parallèles au plan VOZ. Comme x et dx sont constants pour tous les filets composant cette tranche, et que y varie par degrés insensibles depuis Vordonnée d'entrée mm!= yx jusqu'à Vordonnée de sortie mm" =y2> on a

T = dx \yif{x,!,)dy. (1)

Les limites ylt y2 sont les deux valeurs ûe y qui correspondent à une même valeur de x sur le périmètre de la base C ; ce sont des fonctions dex. Le résultat de l'intégration de f\x,y)dy entre les limites yl et y2 donne une certaine fonction ty(x). La tranche de volume m'n'm"nnp'q'i>"q" a ainsi pour expression ï = >l{x)dx.

Il reste maintenant à faire la somme de toutes les tranches analogues, qui composent le volume V. Menons les tangentes KK', LL' à la base C, parallèles à OY ; soient OK — xlt OL = x2 les abscisses de ces droites. Pour avoir le volume total V, il faut faire coïncider, successivement, mm" avec toutes les parallèles à OY menées entre KK' et LL', ou faire la somme des valeurs que prend <\>(x)dx lorsque x varie par degrés insensibles de .v, à a\>. On en conclut :

y[œ)dx.

Pour rappeler l'origine de la fonction 'l(x), on écrit aussi :

V = f* dx P2 f{x, y)dy. (2)

J xi J y:

91. Remarques. — I. Au lieu de ranger les filets prismatiques par files parallèles au plan des yz, on peut considérer une

tranche du volume comprise cuire deux plans parallèles au plan des xz, d'ordonnées y et y -f- dy. Une telle tranche a pour expression

dy | ~ f(x\ i

y )dx ;

l'intégration se l'ait donc par rapport à ,\\ y et dy étant constants, et les limites xly x2 sont les valeurs de x qui sur le périmètre de C, correspondent à une même valeur de x. La somme des tranches analogues qui composent le volume V est donnée par la formule

fy2 fX'2

V = dy \ f(x, y)dx

où les limites y,, y2 sont les ordonnées des tangentes de V parallèles à l'axe OX.

Il importe de remarcpier la différence de signification des lettres xu x2, ylf y, dans les deux formules (2) et (3).

IT. Le volume compris entre le plan XOY (fig. 2o), quatre

Fig. 20. Fig. 2i

plans verticaux représentés respectivement par les équations x = aclf .v = 5C2, y = yx, 3^ = y2, et la surface z == /'(.v, y) est encore donné par l'une ou l'autre des formules (2) et (3).

TTI. Le volume compris entre le plan XOY {fig. xi), deux plans verticaux ADD'A', BCC'B' ayant pour équations .v =- .v,, .v = x2, deux surfaces cylindriques verticales A BB'A', CDD'C'et la surface z = f(x, y) est également donné par la foi-mule (2), 3*! et 3% représentant les ordonnées qui, dans les directrices Ali,

\)C des deux surfaces cylindriques, correspondent à une même

valeur de x.

IV. La formule (2) peut être considérée comme un cas particulier de celle du § 84 ; car une section m,m"p"p' du solide par

un plan parallèle au plan YOZ a pour aire f (x, y)dy, ainsi

qu'on le voit facilement en la projetant sur le plan YOZ.