V. Pour trouver le volume limité par une surface fermée
F(x\ y, z) = 0, que nous supposons située entièrement au-dessus
du plan XOY, nous circonscrivons à cette surface un cylindre
vertical La courbe de contact, représentée par le système
d'équations
ôF F(œ, y,*) = 0, ^ = 0,
sépare la surface donnée en deux parties Wn W2. Le volume cherché est la différence de deux cylindres verticaux ayant même base dans le plan XOY' et terminés respectivement par les portions de surface W1% W2. On en conclut :
\ = dx (zx — z%)dy.
Dans cette égalité, zx et z2 sont les deux valeurs de z qu'on déduit de l'équation F(*v, .V, z)=0. Les valeurs des limites y^y.,, xlf x2 résultent de la base du cylindre circonscrit.
92. Exemple I. — Aux sommets A, B, C, D d'un rectangle (fig. 20), élevons des perpendiculaires AA', BB', CC, DD' de longueurs quelconques ; nous supposerons les extrémités A', B\C',D' non situées dans un même plan. Construisons ensuite un paraboloïde hyperbolique dont les génératrices sont parallèles au plan ADD' et s'appuient sur les droites A'B\ CD'; les droites A'D\ B'C étant deux génératrices particulières, le même paraboloïde peut être engendré par une'droite qui se meut parallèlement au plan ABB' en s'appuyant sur A'D' et B'C. Xous cherchons le volume Y du parallélipipède droit construit sur ABCD et limité supérieurement par le paraboloïde.
En choisissant convenablement l'origine des coordonnées dans le plan ABCI) et en prenant les axes parallèles aux
droites AB, AD, AA', on peut représenter le paraboloïde par l'équation (*)
z = mxi/ -f- n> (li
Le volume eherehé est donné par la formule
V = I dx I (mxi/ -f- n)dy.
J xi J *i
Ici yl5 y.,, .Yp A'.2 sont les quantités OQ, OQ,', OP, QP' qui
fixent les eôtés du rectangle ABCD par rapport aux axes coordonnés. L'intégration par rapport à y doit s'effectuer en considérant .v comme une constante ; par conséquent
dx
dx
mxy
-f ny
p mx{y\ — ?/i) +n{y2 — yx)
= ^m(xï — xi) [y'i—y\) -\- n(x2 — xï)(y2 — y x)
= 4 K — x\) (y 2 — V\) [m(°°ï + iVi)d/î + vu -f **>]•
Désignons par B la base ABCD, et par zlt :-,, s3, z4 les longueurs AA', BB', CC, DD' ; on a évidemment
zl=mxlyl-\-n, z2=mx2yl -\-n, s3=^mx2y2-\-n^ zA--^ mx{y.y\-)i, d'où
-i + ~* -f- -3 + '-a = mix\ -f x-z) 0/i 4- Vz) + 4n. 11 en résulte
