Z\ ~\- ZZ

Remarque. — Le même résultat pourrait se déduire de l'omniformule de cubature. On peut l'étendre à un parallélipipède oblique, terminé à un paraboloïde hyperbolique dont les

(*) On voit immédiatement que la surface qui correspond à cette équation (1) admet des génératrices parallèles au plan XOZ ou au plan VOZ: car l'équation admet les solutions (#— a, z—rn%y-\-n), (y=$fz — m$x-\-n), où a et p sont des quantités quelconques. L'axe <)Z passe par le point d'intersection des génératrices parallèles aux droites AP>, AI).

plans directeurs sont parallèles aux faces latérales du parai lélipipède; zly Z2, Zs,z4 désignent alors les distances des points A', H', C\ D'au plan ABGD.

93. Exemple II- — Considérons un cylindre vertical ayant pour base la circonférence

et terminé par le paraboloïde hyperbolique z — tnxy; la circonférence est supposée située entièrement entre les axes OX, OY« Dans la formule

V = I dx \ z di/%

nous devrons remplacer z par mxy, yl et y., par les valeurs de y tirées de l'équation de la base du cylindre, xl et x2 par les valeurs extrêmes entre lesquelles peut varier x dans cette base ; donc

Vv = P - V ï* — (* — «)', y* = ? + V r2 -^ — a)2, Si, pour abréger, on pose p = \/r2 — (x — a)2, on a

V = I cte l ?/w;y e/y.

Une première intégration donne

www "// = — zf- = 2m? xo ;

H . L 2 Jp P

par conséquent

V = 2m't x Vf2 — (« — a)2 ^ •

Faisons .v — % = r sin £ ; alors

j x \J ri (j; a)2 cfà = r2 j (a -f- r sin t) cos2 £ cft

/ xt . a sin 2t r cos3 £

Aux limites a- = a — /•, tv = a -j- r correspondent les nouvelles

limites t = — ~» £ =~; on en conclut

« 0 9 T** i » «in 2/ reos3*"^11

V = 2w?.0r2 — — ii — 7rw?a3r2. fl-

Remarque. — Lorsque l'origine des coordonnées est à l'intérieur du cylindre, le paraboloïde s'étend à l'intérieur du cylindre en partie au-dessus, en partie au-dessous du plan xy; l'expression (1) représente alors la différence de deux volumes situés l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan des xy.

94. Exemple III- — Trouver le volume commun au paraboloïde et au cylindre qui ont pour équations

y2 -f- z2 = 4a<\ ,v- j- y- 2àx.

Avant d'appliquer la formule de cubature, il faut étudier la situation relative des deux surfaces.

Le paraboloïde est de révolution autour de Taxe OX ; la

méridienne considérée dans le plan XOY est la parabole y2 = 4ax. Le cylindre a pour base un cercle OMA dont le centre est sur l'axe OX, à la distance a de l'origine. La parabole est extérieure au cercle, car son ordonnée PX = \ 4ax est plus grande que l'ordonnée PM = \ 2ax — x2 du cercle.

Le volume cherché est donc celui du cylindre terminé en haut et en bas par le paraboloïde Xous en aurons le quart en considérant les deux surfaces dans le premier trièdre OXYZ. Dans la formule de cubature, il faut remplacer z par sa valeur déduite

de l'équation du paraboloïde, c'est-à-dire par \ 4ax — y2; )"7 et y 2 sont les deux valeurs de y qui, sur le contour du demi-cercle OMA, correspondent à une même valeur de x, de sorte (pie

y1 =0, y 2 = \ 2ax - a*2: x^ et xt sont les abscisses des deux

plans parallèles an plan YOZ ei cnfermanl lo cylindre, dont

a*! = 0 et .\\, = 2a. Ainsi

.l/2ax— x-

On sait (13) que, * étant une constante,

\ *~ — y <'y = r, arc S1M r .^/z \ * — y ;

remplaçant x2 par la.v et intégrant entre y = 0 et y ==?\2ax — tf2, on trouve

2<:u- ar

arc sin V/"

<lx.

Décomposons le second membre en deux intégrales. La dernière est immédiate; car

x y 4a2 — x2 doc = -7- (Au2 — j;2> c/(4a2 — rç- )

= £, ou 2a — j: -- [a sin- /,

Pour obtenir la première, posons

are sin \/

ce qui donne

x = 2a(l — 2 sin2 /) = 2a cos 2t, \dr = — 4a sin 2/ dt,

(*& ^ /*^a os- C^

x arc sin \/ " - ~dœ = — I 8à2 t sin '21 cos 2£ oV

„ n V -la F i

= 4a2 f £sin 4tf'cfe:

Intégrons par parties; il vient j i sin M fit = — cos 4/! -f j cos \t dt = — cos 1/ |- .sin 1/,

/sin \tdt = -

Par conséquent

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