Volume en coordonnées semipolaires (flg. s3). — Les

coordonnées semipolaires d'un point a' par rapport à trois axes rectangulaires OX, OY, OZ sont sa distance aa' = z au plan XOY et les coordonnées polaires r = Oa, 6 = angle aOX de sa projection horizontale a.

Considérons de nouveau une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à OZ et s'appuient sur une courbe Fig. 23. Fig. 24.

fermée C, située dans le plan XOY, et cherchons le volume compris entre cette surface, le plan XOY et une surface courbe continue S, ayant pour équation z = F(r, 6).

A cet effet, divisons l'aire de la base C en un nombre très grand de trapèzes circulaires très petits, au moyen de droites menées par O et d'arcs de cercle décrits de O comme centre. Soit abcd l'un quelconque de ces trapèzes; il est la base d'un filet prismatique abcd a'b'c'd' limité latéralement par la surface cylindrique verticale qui a pour directrice le périmètre du trapèze, et supérieurement par la surface S. Appelons z\ r, 6 les coordonnées du point a', et désignons par Ar, AQ les accroissements a/>, aOb des deux dernières quand on passe de a' à c'. Le trapèze circulaire abcd, différence des secteurs Qbc, Qad, a pour

mesure :> (/• }- Ar)2A0 — ~ r-AO ou (r -\- ^ AHArAf) ou simplement

i-ArAO, en négligeant un infiniment petit du troisième ordre.

Soit a'b"c"d" la section du filet prismatique abcda'b'c'd' par le plan mené par a' parallèlement à la base abed.

Le volume cherché Y peut être considéré comme la limite vers laquelle tend la somme des filets prismatiques abcda'b"c"d" lorsque le nombre des éléments superficiels dans lesquels on décompose Taire C, augmente indéfiniment et que ces éléments tendent vers zéro. Ou indique cette relation en écrivant

V = j j z rdrdQ,

et en sous-entendant (pie l'intégrale double est étendue à l'aire de Ui courbe C.

Pour calculer l'intégrale, nous faisons d'abord la somme des filets prismatiques compris entre deux plans ZO/>, ZO7 faisant avec le plan ZOX les angles />OX = 8, r/OX = 8 |- r/0 ; nous aurons ainsi une tranche mpqnnïp'q'n' du volume Y, comprise entre les deux plans ZOp, ZOq. Comme 0 et dh sont constants pour tous les filets de la tranche, et que r varie par degrés insensibles de Oni = r, à 0/> = r.,, la tranche a pour expression

dh

C*F(r,*)rdr, (1)

J ri

l'intégration s'effectuant par rapport à /•, et 0 étant considéré comme constant pendant cette opération. Les limites rlf r2 sont les valeurs de r qui, sur le périmètre de C, correspondent à une môme valeur de 8; ce sont généralement des fonctions de 0.

L'expression (1) donne toutes les tranches analogues à la tranche mpqnm'p'q'n' pourvu qu'on remplace 8 et <78 par les valeurs correspondantes. La somme de ces tranches, ou le volume cherché Y, s'obtient en intégrant l'expression (1) (par rapport à 6) entre les limites 8t = angle AOX, 82 = angle BOX, OA et OB étant les tangentes menées de 0 à la courbe C.

Xous avons ainsi la formule définitive

96. Remarques. — T. Xous avons supposé O en dehors de la base (\ Quand O est dans la base (fig. 2j), on a

r6' Ch

7 = df>\ ( F(r, 8) r dr.

Ç2T, Çv

V = tin F(r,Q}rdr

la limite r de Yintêgtale de droite est la valeur de r qui, sur le périmètre de C, correspond à une valeur quelconque de 0. II. Ou peut intervertir l'ordre des intégrations et écrire

- I ''rdr f "P(r, 6}tf6,

niais les limites ne conservent pas la même signification.

Cette formule suppose qu'on fasse d'abord la somme des petits filets prismatiques compris entre deux cercles de centre O et de rayon /* et r |- dr, ce qui donne une tranche du volume V comprise entre deux cylindres droits; on fait ensuite la somme des tranches ainsi obtenues. 0L et bi sont maintenant les deux valeurs de 6 qui, sur le contour de C, correspondent à une même valeur de r; r, et r.2 sont, dans la figure 23, les rayons des deux cercles décrits du centre O et tangents à la courbe C.

Nous négligeons ici le cas où O est intérieur à l'aire C.

97. Cylindre de Viviani (fi g. 9). — Soit V le volume du cylindre construit sur le demi-cercle OPA et terminé en haut par la sphère.

Les coordonnées semipolaires d'un point M de la sphère sont

r = OI>, 0 = POX, c - V0M 2 — op2 — Sal -

Les valeurs de 0 qui, dans la base du cylindre, correspondent à une môme valeur') —POX sont i\ 0, r2==OP=OA eosf)=aeos0; les plans menés par OZ et enfermant le cylindre correspondent à

Qj = 0, 62 =:yOX == - • Xous avons donc

/ 2 fa cos 0 ,