V - di) r\J a% — r2dr
Or
Ci 1 C 1 il
r\l a- - r'2 dr = — - (a2 — i^)zd{a- — r~) — — [a2 — r2)i ;
]>ar conséquent
i /*2 r î~ja cos fj /-2 '
-» I (a2 — r2)2 ./'J 0«;i (1 — sin36)tfÔ,
û;o L Ju o J {)
Remplaçant sin.3 0 par (l — cos- 0) >sin 8, on obtient
• I cos o - ^3 °"
Comme le volume de la pyramide èphéficjue OABC est égal à
TCa3
» la partie retranchée de cette pyramide par le cylindre de
\ îviani a pour volume •
Aire d'une surface courbe.
98. Aire en coordonnées rectangulaires (fig. ig). — Considérons, sur une surface courbe S donnée par son équation z = f(x, y), la partie U limitée par une courbe fermée qui se projette sur le plan X.OY suivant la courbe C. Divisons l'aire de (1 en un très grand nombre de rectangles très petits en menant des parallèles aux axes OX, OV. Soit abcd un de ces rectangles, et soit a'b'c'd' la portion de S qui se projette horizontalement suivant abcd. Si l'on appelle x, y, z les coordonnées du point a', et A.v, Ay les accroissements ab, ad de a;, y au passage de a' en c\ le rectangle abcd a pour mesure A.v A3*. Les faces latérales du filet prismatique abcda'b'c'd' interceptent sur le plan tangent mené au point a de la surface S un parallélogramme a',3yo ; on peut regarder l'aire U comme la limite de la somme des parallélogrammes analogues à a'Syo et qui se projettent à l'intérieur du contour de C. Or, si v est l'angle de la normale à S en a' avec l'axe OZ, on a (I, 278) :
abcd = a'fivS x cos v, cos v = r= ■
p et q étant les dérivées partielles — 1 — tirées de l'équation de
ox ay
la surface S. Par conséquent
, „ abcd — -
" ' v° = cosX = ^ ! + P + q !/'
On peut maintenant écrire
U ;{fyi +P1 Hfdœely,
l'intégrale double étant étendue à l'aire C.
Les limites se déterminent comme pour le volume du cylindre vertical construit sur 0 et limité à S; on a plus explicitement
U = '* dx "VI +P2 -YT (hi-
99. Aire en coordonnées semipolaires (/?#*. 25). — Si l'on emploie les coordonnées semipolaires, on divise l'aire C, projection horizontale de l'aire cherchée U, en trapèzes circulaires au moyen de droites menées par l'origine O et d'arcs de cercle décrits de ce point comme centre. Soient abcd l'un de ces trapèzes, a' le point de rencontre de la verticale du point a avec la surface S, et (z, r, H) les coordonnées de a'. La surface cylindrique verticale qui s'appuie sur le périmètre de abcd intercepte sur le plan tangent mené en a' une aire a'(3yô; U est la limite de la somme des aires analogues à a'ftyô et se projetant à l'intérieur de l'aire C. Le trapèze abcd a pour aire rArAf), à un infiniment petit du 3e ordre près, et l'on a :
abcd = a'Syo.cos v, cos v = — . '■
\ 1 + Pz + T
/désignant l'angle de la normale en a' avec l'axe OZ. On en conclut d'abord :
a'pyo = V 1 |: p2 + <f rArAe ;
ensuite,
: | VO j ; V'1-r^ \-rrdr,
les limites se déterminant comme dans le calcul du volume du cylindre vertical construit sur C et terminé à U.
Les dérivées partielles />, q se tirent de l'équation z = /'(.v, y) de la surface et l'on y remplace x, y par r cos 0, y sin 6.
100. Applications.— 1° On donne deux cylindres droits égaux dont les axes se coupent rectangulairement ; trouver la portion de surface de l'un de ces cylindres comprise dans l'autre (fig. 2:")).
Soient ACB, ADL les bases de ces cylindres situées clans les plans xy% yz. Considérons les parties des deux cylindres situées dans le trièdre OXYZ ; les surfaces se coupent suivant une
courbe A III (*), cherchons Faire HLDAIH de la surface du second cylindre.
Les équations .des deux surfaces cylindriques sont
rM-y- =a\ y* | *« — a*. (A)
Fier. 20.
La seconde donne
P = 0, q = — '- = - Par conséquent (99)
Va
= I r^fo; arc sin - I a arc sin \ / 1 — - dx = I « ar
c cos '/.<•.
Intégrons par parties ; il vient
«# arc cos
Ct i/7 6 ' l37
Ç'à eu
Jo\V
Jo
2° Cherchons l'aire de la fenêtre de Viviani (80) en employant les coordonnées semipolaires. Soit S la portion de la sphère qui se projette sur le plan xy suivant le demi-cercle OPA. L'équation de la sphère étant .v2 -\- y~ -\- z2 = a2, on a
(*) Celte courbe est située dans le plan bissecteur du dièdre XOYZ: c'est ce qu'on voit facilement en retranchant, membre à membre, les équations (A).
I M) La surface ACBHIA du cylindre vertical, égale à la surface ADCHIA de l'autre cylindre, se déduit facilement du § 101.
do m*
dh
eos 0
rdr
dH
= a2 (1 — siiiO>/0 <r-
•os (J
0 — eos
Le triangle trirectangle ABC ayant pour mesure 9 ~a2, on voit (jue l'aire CMABC == a2.
101. Aire d'une partie de surface cylindrique ou conique. — 1° Une courbe ACB se projette sur le plan XOY suivant la courbe A'C'B'; proposons-nous de calculer la surface U du cylindre projetant qui est comprise entre les génératrices AA', BB' et les deux courbes (fi g: 26).
Inscrivons dans ce cylindre ACBB'C'A' une surface prisma- Fisr. 20. Fi g. 27.
tique; lorsque les côtés de la base tendent vers zéro, la surface prismatique a pour limite la surface cherchée U. Soient .v, y, z les coordonnées d'un point C quelconque de la courbe ACB, ds Tare infiniment petit CD' ; l'élément correspondant de la surface auxiliaire est égal à zds ; on peut donc écrire
- ( zds = | z.\J'dœ*+dy2,
J A' il' J A 'H'
Application. — Cherchons la surface latérale du cylindre de Viviani [fig. ij). Soient z, r, G les coordonnées semipolaires d'un
point de la courbe spliérique CMA: la cote
PM OM sin POM = a sin 6,
et l'arc de cercle AI* qui correspond à l'angle an centre 20 d'une
circonférence de rayonna a pour mesure aô; d'où ris af/ô.
L'aire cylindrique comprise entre les courbes APO, AMC et la génératrice OC est donnée par la formule
a sin 0 . a^6 = a2, o
2° Etant donnée une courbe AOB, proposons-nous de trouver l'aire latérale U du cône qui projette l'arc AB à partir de l'origine des coordonnées; cette aire est limitée par les génératrices OA, OB et l'arc ACB.
Considérons sur cet arc deux points infiniment voisins C(.v, y, z), T)(x -f- dx, ...). Le carré de l'aire du triangle OCD est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires ; donc
40CI) = (xdy — ydxf | (ydz — z dy)2 -f- (z dx—xdzf. On en conclut
2TJ = I \ [xdy — ydxf -\-{ych — s dy)2 -f {zdx— xdzf.
Si la courbe AB est donnée par trois équations paramétriques
x = ?i(o> y = ?tWf - = ?«(0»
le radical prend la l'orme f(t)dt, et
2U = ( 'V(0^ /, et /2 étant les valeurs de / aux points A et R.
Exercices et notes.
1° Volume compris entre les plans z = 0, x = xi, x — x2, y = ylt y = ?/2, et la surface cylindrique z = eax+b>' I c .
V == -r (<?ax2 — eaxi)i6jhi'2 — eb>'0. XEUtfERG, A», m/"., //. 9
*J. Trouver le volume détache <le l'ellipsoïxlc axant pour demi axes <>A OB, OC, par le prisme qui a pour section droite le triangle OAB.
3. On prend sur les axes OX, OY les segments OA - <•/, OB = b. Trouver le volume compris entre le triangle OAB, les laces latérales du prisme ver-
tical construit sur ce triangle, et le paraboloïde elliptique = 2z.
4. lin cylindre vertical avant pour hase l'ellipse ' = 1 est limite
par le paraboloïde elli])ti(iue
2z. Trouver son volume
\ - Tzab[ + 8 \m n
5. Calculer le volume d'un cône dont le sommet est en un point donne S. et qui a pour hase la portion de surface du paraboloïde c ax2 \- by2 située à l'intérieur du cylindre vertical représenté par Lr — a)2 ] [y — !3j2=r2.
On prend pour élément du volume cherché le cône qui a pour sommet s et pour hase un élément dx dy \ 1 f-/j2 j q2 de la suri';! ce du paraboloïde; la hauteur du cône élémentaire est
Z — z — jj(\ —x) —q(X —y) ^
où X, V, Z sont les coordonnées de S. Donc
1 ry- l >■ r?+?
