r Jp-p
a désignant \ }'2 — [x — a)~- Remplaçant c, ]>s q par leurs valeurs on
ob1 ient
1 Ç*+r r?+p V = ., dx dy[a(x — X 2 -f />(// -Y)2 | c],
àja—r J 5 p
où c = Z — aX2 — 6Y2.
On trouve
Posons x — a = r sin /, etc.^(*)
[*) Voir Mathesis, t. II» p. 233.
l'ai le il i«i met rc Ali de la hase <l un cj lin. Ire (le L'évolution oïl nie ne un plan 1' taisant avec cette base l'angle 0. Trouver 1" le volume compris entre le demi-cercle ACIi et le plan P; 2° la surface du cylindre comprise entre la demi-circonférence ACIi et la courbe d'intersection de la surface avec le plan I*
Soit .y- I y: - a2 l'équation du cercle ACIi. Ali ctant Taxe OY. lue tranche de volume comprise entre deux plans perpendiculaires à A 15 et infiniment rapproches a pour expression //- fcg %dx\ «l'on
(a2 — x2)dx = '!■'■ tg a
La surface cherchéjc a pour mesure
y tg a ds == 2a2 tg «
7 Soit AliCD un parallélogramme. On construit deux ellipses dans les plans menés par Ali et AI) perpendiculairement au plan ABCD ; l'un des
axes est Ali =2a ou AI) 2b, le second axe a une même longueur 2//. ('es courbes étant les directrices de deux cylindres dont les génératrices sont respectivement parallèles à AI) et Ali, trouver le volume commun aux deux cylindres.
Si l'on prend pour axes des parallèles a Ali, AI), menées par le centre du parallélogramme, pour troisième axe une perpendiculaire au plan du parallélogramme, les équations des deux cylindres sont
~c hi ' ° 7 " "
d'où l'on conclut que les deux surfaces se coupent suivant deux ellipses situées dans les plans verticaux menés par les diagonales. In pian horizontal mené à la hauteur z = a coupe les deux surfaces suivant quatre génératrices formant un parallélogramme dont les sommets se projettent sur AC, BI), et dont les côtés parallèles à AJB, AI), sont égaux à
2a VI —% ' '^V1 ~~ %' la surli
\<il> sin 6(1 —
d'où <84;
V = 4absh\ 0
'ace est donc égale à
') étant l'angle BAD ;
L'omniformule i85) est applicable.
v lu cylindre de révolution de rayon R est coupe par une sphère de rayon R' > R. ayant son centre sur l'axe: trouver le volume du cylindre limite de part et d'autre par la sphère.
zrdrdv = -t)
9. Volume compris dans le trièdre des coordonnées positives, du côté de l'axe OZ, entre les deux surfaces cylindriques
bx=y-, yz-\-s2 = az,
les plans xy et des zy, et le plan y — c(c < a).
V = fb cfcc I \'«2 — v- rfv - | ' V"2 - >r dy I b dx.
10. Volume compris entre le plan des xy, le plan «r = a et les deux cylindres
ax = ?/-', fy/ = z2.
fa fVax (
11. Aire de la surface cylindrique by = z2 comprise entre les plans des
xy et des yz, le plan y = c et le cylindre ax = y2.
Jo JVax V 1// J0 V V/ Jo
12 Trouver le volume situé au-dessus du plan XOY et limité par ce plan, par la surface cylindrique x'2 -\- y2 = a"2 et le paraboloïde hyperbolique opz = y2 — /n-A--. On suppose /> > 0.
Le volume cherche est compris dans les deux dièdres <]iii sont formes parles plans verticaux y = mx, y = — mx (passant par deux génératrices du paraboloïde situées dans le plan XOYj et qui comprennent respectivement l'axe OY et son prolongement ()V.
A cause des plans de symétrie XOZ. YOZ, on peut écrire
1 1 fxi /-Va*-**
V = - dx .?/• — m*x2)di/,
"* "P J 0 J mx
ou xy — , . <>n trouve en posant m =tg« :
13. Trouver l'aire du paraboloïde pz = xy, interceptée par les. quatre
plans a: = 0, .v = a, y = 0, y = £•
Si l'on fait \' jr | a2 j- //- = c, on obtient
aôc 3/>2 + a2 6 4- c
Sp 6p y/p2-f-a2
-f A / — ■ arc tg - •
14. Trouver la surface interceptée sur le paraboloïde \'/>: - x2 — y- par lo cylindre x2 | y2 a2.
V =~\(P* ba*f—p*
[ntégrale triple.
102. Considérons une surface fermée S, et soit f(x, y, z) une fonction qui a une valeur déterminée en chaque point (x, y, z) du volume V limité par cotte surface. Divisons ce volume en éléments de volume in fi ni meut petits, qui tendent vers zéro eu se réduisant à des points. Multiplions chaque élément du du volume V par la valeur de la fonction f[x, y, z) au point auquel se réduit cet élément et faisons la somme des produits ainsi obtenus. Cette somme tend vers une limite déterminée, qu'on représente par
et qu'on appelle une intégrale triple étendue du volume Y.
Ordinairement la décomposition de V en éléments infiniment petits se fait au moyen de trois suites de plans parallèles aux
Fig. 28.
trois plans coordonnés, deux plans consécutifs d'une même suite étant infiniment rapprochés. Soit (fig. 28) abcd a'b'c'd' un des
petits parallélipipèdes ainsi obtenus; si ,v, y. z sont les coordonnées de a, les dimensions du parallélipipède peuvent "être désignées par dx, dy, dz et l'intégrale triple sera
Ù7/V'\//- z)dxdy dz.
Le calcul de cette intégrale exige trois intégrations successives par rapport aux variables x, y, z. Voici comment on peut opérer :
Circonscrivons a la surface S un cylindre vertical, qui rencontre le plan XOY suivant une certaine courbe C. Les traces horizontales des plans que nous avons menés parallèlement aux plans XOZ et YOZ divisent Taire C en rectangles infiniment petits, soit r/jps un de ces rectangles; les plans verticaux correspondants forment un prisme qui intercepte sur la surface S detix quadrilatères courbes r'q'p's' et r"q"p"s". Le filet prismatique compris entre ces quadrilatères est partagé par les plans parallèles au plan XOY en parallélipipèdes infiniment petits.
Formons d'abord la somme des cléments f(x, y, s dv pour les parallélipipèdes élémentaires composant ce filet prismatique. Comme x, y, dx, <ly restent constants et que s varie de la valeur rr1 = s, a la valeur rr" = z.,, la élite somme est donnée par l'intégrale simple
dxdy f(x,y, z)dz. Jzi
Les limites z1} z2 sont les deux valeurs de ; qui, dans la surface S, correspondent à un même système de valeurs de ,v. y : ce sont généralement des fonctions des variables x, y.
L'intégrale | f(x, y, z)dz est une certaine fonction r(.v, y»
desdéux variables, v, y. Il reste a calculer l'intégrale | \^\x,y)dx<l\ ctendue à Taire de la courbe C. En raisonnant comme plus haut (90), on peut mettre l'intégrale triple sous la forme plus explicite
(*-> l'y 2 çh
dx dy f{x,y, z)dz.
103. Application. — Considérons la pyramide trirectangle OABCj limitée par le trièdre des coordonnées positives et la
j- Ido -
sphère A'2 j- y- \ z- -. 1, et cherchons le moment de son volume par rapport au plan X ( ) V .
Le moment d'un volume infiniment petit du par rapport au plan XOY es! le produit de ee volume par su distance à ce plan, on zdv. Le moment d'un volume fini V est la somme des
Fig. 29.
V ft
moments des volumes élémentaires dans lesquels on le partage d'après une loi quelconque.
Pour trouver ici le moment de la pyramide OABC, nous décomposons ee corps en tranches infiniment minées, parallèles au plan des yz et d'épaisseur dx, Tune de ees "tranches est par exemple mntn,n'm"n". Nous décomposons aussi chaque tranche, par des plans parallèles au plan des zx, en prismes infiniment petits de base dxdy; l'un de ees prismes est rqpsr'q'p's'. Enfin, nous décomposons chacun de ees prismes, par des plans parallèles au plan des xy, en parallélipipèdes infiniment petits, de volume dxdydz; l'un de ces parallélipipèdes est représenté par abcda'b'c'd'. Cela posé, si ,\\ y, z sont les coordonnées du point /•', le moment du prisme rqpsr'q'p's' est la somme des valeurs de la quantité zdxdydz, lorsque x, r, dx, dy restant constants, 2 varie par degrés insensibles, de z = 0 à z = rr' = \/l — x2 — y- ; il a doue pour expression
dx du
zdz - -dxdy {y X* — yz).
Le moment de la tranche innin'n'm'n" est égal à la somme des moments des prismes qui la composent; il a donc pour expression la somme des valeurs que prend ^dxdy(l — x2 — y2) lorsque x et dx étant constants (égaux à Qm et mn), y varie par degrés insensibles de y ^Oii y => mm' — \ l — .v-. ( "ette somme est
1 , .;; ; = ., (-1 —x2)*cLC'
Enfin, le moment total de la pyramide est égal à la somme
des moments des tranches parallèles au plan yz, ou égal à la
somme des valeurs que prend., (1 — xz)idx lorsque x varie par
degrés insensibles, de x - 0 à x = OA = 1 ; donc
i ci •*
M = i (1 -£c2)2rfir,
ou en taisant a* == sin œ 30) :
104-. Intégrale multiple. — Soient .v,, a-,. . . .va des variables indépendantes les unes des autres et assujetties à une ou plusieurs conditions de la tonne
o(xu a?2, ..., a;n) < 0, (1)
et soit Fi.Vj. a-,, .... acn) une fonction donnée de ces variables.
Les systèmes des valeurs accessibles aux variables peuvent être partagés en groupes dont chacun comprenne tous les systèmes pour lesquels les variables sont comprises respectivement entre
xx et xx -j- dxlt x% et x2 -|- dx2, ... , .r„ et xn -|- dxai
où .vj, .V., ..., Xn sont l'un des systèmes de valeurs, et efcvj, dfjc2 rfjcn îles
quantités infiniment petites. Soient a,, x.,, ..., an des nombres choisis arbitrairement dans les intervalles
\XXy X\ -\- CÙX^jf (./'.,. .'', j ''.'.'J, ..., (.'"n, Xn -|- CCXD .
La somme des valeurs que prend l'expression
Fi^j, y-.2, . .., an) c&tfj '/.'-'. ... dxn
pour les (lifteront s groupes, ou plutôt la limite do cotte somme (*) lorsque les quantités dxi} dx.>, ... doca tendent vers zéro, est l'intégrale multiple
J j . . . ) F(.x-j ,x.2% ... x^dx^dx, . . . dœn, 1 2
où le nombre «les signes d'intégration est égal à n.
Pour calculer cette intégrale, nous sommons d'abord tous les éléments qui correspondent aux mêmes valeurs des n — 1 variables x2, x3, ... .v,,; leur somme, représentée par
dx.//r3 ... dxn \ F(a?15 a?2, ... xn)dx\, (3)
s'obtiendra par une première" intégration dont les limites seront, en général, des fonctions de av., .y3, . . .v„ que l'on calculera au moyen de l'inégalité (1) ou des conditions qui la remplacent.
On fait ensuite la somme des valeurs (pie prend l'expression (3) lorsque ,v3, .v4, .. , .vu restent constants ; elle s'obtiendra par une intégration relative à X*, entre des limites qui dépendent de .v3, X4 ... Xn seulement.
Le résultat est indiqué par
'U'3 ... docB | dx., \ F(œl, x2, ... xn)dxr
( >u continuera de même en faisant varier successivement x3, .v.,, . ., xn', la dernière intégration aura pour limites deux constantes qui sont les valeurs extrêmes de xn lorsque les n — 1 autres variables sont entièrement indéterminées.
Jfar exemple, si l'intégrale (2) doit être étendue à toutes les valeurs positives des variables pour lesquelles
on peut l'indiquer ainsi en écrivant les limites des différentes intégrations :
■1 -x,, (l-*a-xn-l fl-x.
dxu . dxn t . .
fi /"l -X,, rl-xh --x11 1 rl-*n-*n-V~-*2
dxn dxn..\ dxn 2- • />'1,->,.,,...^,r>/.v1.
Transformation des intégrales .multiples.
