Intégrale double. — Soit à transformer l'intégrale

I = jJF(œ,t,<)dxdt/,

en introduisant deux nouvelles variables //, v liées aux premières par les équations

(*) Nous admettons ici (pie cette somme tend vers une limite unique indépendante du mode de formation des groupes.

On ramène le problème a la transformation d'une intégrale simple en écrivant

I = [dy[ F(a\ //>/,'• (2)

et en remplaçant dans la première des relations (1) v par sa valeur tirée de la seconde, ee qui met ces relations sous la l'orme

■'• = -"■ y), y - fi(u, v

En effet, y étant considéré comme constant dans \ F(.v, y)dx, on a

1= idy \ F[cp(>, y), y] ^ rfu

Nou> avons ainsi une intégrale double en u et r. Intervertissons maintenant Tordre des intégrations (); il vient

[= | du | F[o(w,y),y]^rfy. "

Les opérations commencent maintenant par une intégration relative à y, pendant laquelle ri est considéré comme constant. On peut introduire une -nouvelle variable d'intégration v en

remplaçant v par /".(n, v), et dy par ' <-/^ ; ce qui donne la

valeur cherchée :

1= ( du | K/'''.'-Wr''.-i22''/'-- En écrivant

ou M < on voit que dxdy a été remplacé par Mdudn.

du dv

Pour trouver la quantité M sans effectuer l'élimination de i\

observons que -m, y est la fonction f(u, v) où l'on substitue à/'

sa valeur tirée de y /.(", u)', par suite

cto ()/" , df dv

du du dv du ,~-

<)n peut intervenir l'ordre des intégrations dans une intégrale raul tiple, pourvu qn\)n change convenablement les limites, en tenant toujours compte «les conditions imposées aux variables.

dv du

résultant de 1 équation y f //, v), en sorte que

<v\ , 'V, rfi

puisque y est traité comme une constante. Si Ton élimim

entre les relations 3) et (4), on obtient •

ôj oj\ df <>/\ ôf ùf\

dll i)r ()// <)r <)r du

doue AI est éiïal au déterminant fonctionnel

dv 1 du

df df

On ÔV

()(lt, r)

Application. — Si l'on passe des coordonnées rectangulaires

\ v aux coordonnées polaires /\ 0, on a

x = r eos 0. ii ---- i sin 0 ;

al or:

cos 0 — r sin 0

sin 0 r cos 6

loue

| | V .'•. y)dxdy \ \ F(r cos 0. r sin O.iyy/'i.

ce qui démontre de nouveau la formule de cubatu.rc en coordonnées semipolaires.