j ^ jj F(.r, V, Sjflte
on a d'abord à calculer une intégrale double en .v et y dans laquelle z est trait»'1 connue nue constante. Ou peul transformer cotte intégrale double eu une autre en u et v. A cet effet, nous
Supposons qu'on tire la valeur de w de l'équation z = /«,(», », ty) et qu'on la substitue dans les deux premières des relations (5) ;■ représentons par
x = ©(«., r, 2), ;/ = <p,(w, r, s) les nouvelles valeurs de a- et y. Nous aurons (105)
l-\(h\\V^,h,z)U{,/udr,
ou
Ou <)r r)// Or
Conïme ©(h, y, s) est la fonction /(», y, a;) dans laquelle a? a été remplacé par sa valeur déduite de z — f.2(u, y, a;), on a
par analogie
Ou
du Of df 0>r 0o Of 0f Ou-
d" <)« d?0 r//< ^r ryr <)r r)r
<)/\ dj\ dw f <>/\ 0/\ 0/\ dw
Ou Ou- Ou ' Or Or Ou; 0ï
i i ' • < dw Ow . , , ,,
Les dérivées , > . résultent de 1 équation z — r„(H, y. w)
Ou Ou l ' zv '
où l'on traite 2 comme une constante et w comme une fonction de u et y: donc
die 0/:, > d/*2 d«>
Ov ' Ou-
Si Ton substitue les valeurs (6) et (7) dans le déterminant M, et qu'on décompose ensuite celui-ci en quatre autres, on trouve
= à(f,fi) à(f,fx) dw <Kf,fi) àw
d(u, v) div, w) Ou 0(u\ u) Or
)w Ow
remplaçant encore par les valeurs (8). on obtient
Ou Ov
M àft = <>[/\./\) of, 0(j\f\) o/[. o(/\;\) o/:2
1 Ou- 0{u} v) du- 0(r, w) du d(to, u) Or
Le second membre <le cette égalité esi le développement du déterminant fonctionnel
àf <>r df
ou ()r <))'■
ô/\ ôf\ df\
dit ()r ô/r
df* àf2 ()/:,
du <)r dxo
suivant les cléments de In troisième ligne, On a donc
Ml dw
d(x, !/, z) tyu, v, w)
Observons maintenant que
I = \dz ff F(-f, oj, z)Mldudv = jdujdvJF(oJol,z)Mldz,
el que dans l'intégration relative à s, on traite u et y comme des constantes; on peut donc remplacer z, <lz par /jï/, v, w),
ï//p. Il résulte de là :
f du j dv I
1 du
donc, à cause de la relation ('.)),
l = $dujdvJF(f,fuf,)Mdic jjf'Ftftfr.&lMdudvdte.
On voit que le produit dx dy dz doit être remplacé par M </*/ du dw.
Application. — Si l'on partage un solide en une infinité de petits parallélépipèdes en menant trois suites de plans parallèles aux plans des coordonnées, on est conduit à la formule de eubature
V = \\\ dx d;/</ z.
Les coordonnées sphériques d'un point M qui se projette sur le plan XOY en P sont
p = OM , w =* POX, 0 = MOP ,
elles sont liées' aux coordonnées a\ y, ~ pai les formules
a? = 3 sin (l cos w, v = ; sin (J sin w, ; - cos f|
Le déterminant fonctionnel ' ' > ' a pour expression
5, 0 , CO ) l '
-111 6 COS to p cos 6 COS w — : Mil 0 sill w
sin 0 sin <-) p cos 6 sin. w " p sin G cos w
cos 8 — p sin 'i 0
>m : - sin &; oh en conclut
V = \\\ p2 sin bdpcfàdoi.
