Différentiation par rapport aux Jimites. — L'intégra^G

f{pc\d'x

est une fonction des limites a et b. et des paramètres qui entrent dans /'(.y-). On peut se proposer de la différentier par rapport à l'une ou l'autre de ces quantités.

Si Flyi est une l'onction qui a pour dérivée /l.Y. dé sorte" que

on a

„/,-F'''- Ta '"";

d'où, à- cause de F'(.v') = / '.\

du

ob

Dans le cas où n el b sont des fonctions d'u ri même iniruriiètn / qui n'entre pas <Ians f[x), on a

dt --,«,, a ' ùb dt -f'",n A ' h],a 108. Différentiatlon sous le signe. — Soii

/ ('tant indépendant de a\ a et /; indépendants do /

Donnons à / l'accroissement A/: u prendra l'accroissement

bu = /'(,r, * -f- M)dx — /(./■, /■,/.,■

On en conclut, A/ étant indépendant de x,

A« fb /"(*,< + A/'-/',r, /)

Si f\x, /) reste finie entre les limites a et /> de x et possède toujours une dérivée par rapport à /. finie et bien déterminée (pour la valeur considérée de /), on a

A/ " dt

z désignant une quantité qui tend vers zéro avec: A/. On peut alors écrire

. = ' tte |- Bête.

Soit /?/ la plus grande valeur absolue de s lorsque .v varie de ;/ a b: en valeur absolue

Lorsque A/ tend vers zéro, m peut devenir aussi petit qu'on veut et il en est de même de m(b — a). Donc en passant à la limite pour A/ 0, on trouve

du fh ()f ,

=■ - dx. ,dt J adt

Ainsi, pour dêrîtoev une intégrale définie par rapport à un paramètre entrant sous le signe, il su/JH de dériver par rapport à ce paramètre la quantité placée sous le signe.

109. La règle précédente peut être en défaut lorsque l'une des

limites d'intégration ou les deux sont infinies, on lorsque est

discontinue entre x = a et x = b.

Soit, par exemple, l'intégrale

f°°sinte ,

u = dx , (1 )

où nous supposerons / positif, tëlle a un sens parfaitement déterminé; car le remplacement de x par ' donne

f°° si n x , " = | ~ <**. (2)

ci la courbe

si n x

se compose d'une infinité d'arcades situées alternativement de part et d'autre de l'axe OX, qui ont même largeur -, (*) mais dont les hauteurs décroissent vers zéro. (Comparer $ 48, 3°.) Or, si l'on appliquait la règle (108) à l'intégrale (1), on trouverait

du r°°

dt

= j cos tx dx ;

le second membre n'a aucun sens tandis que u étant indépen-

dn

dant de / d'après l'égalité (2) on a . ■ = 0.

110. Dans cei'tains cas on reconnaît que la règle s'applique à une intégrale prise entre des limites infinies en examinant si

i * i On a

, x cos x — sin x cos x(x — tg x)

y ^ „.% Ti »

\Aj \àj

dans l'intervalle (0, ~), la dérivée y} étant négative, y décroît constamment de 1 à 0; dans les intervalles (ir, 2~), (2~, 3~)... un maximum de la valeur absolue de y , égal à cos a\ a lieu lorsque tg x — x.

' dx a une valeur finie. En effet, si les dérivées ' ' . '

son1 bien déterminées quand x varie de u à b, on peut écrire où 0 9 < 1. L'égalité (1) du § 108 prend ainsi la forme

M ~ J a dt X h 2 J a ^ flto-

Cbd*f(x, t) Donc, si l'intégrale ' r/\v n'est pas infinie, on a

dU-C Ôfdx dt J a ^ aûC>

lors même que h et b seraient infinis. 111. Règle générale. — Si les limites a et b de l'intégrale

a = | /*(#, t)dx

sont fonctions de /, on a (I, 69)

du du da du db du

di ~ da dt ^ db ' dt al '

.- désigne ici une dérivée totale, et — est la dérivée de u par dt dt

rapport à t qui entre dans f(x, t). Si la règle (108) est applicable,

l'équation précédente donne

du dt

x da ./, x db Cb àf .

,-na,t)dtVtV>,t)<h+^Ldt.

112. Applications. — La règle de la différentiation sous le signe peut servir à déterminer des intégrales définies dont le calcul direct serait plus pénible ou dont les intégrales générales correspondantes ne sont pas connues sous forme finie.

1° 777 étant positif, on a

xm dx = -, — - = (m -\- 1)1 .

Neuberg, An. inf., II, io

Dérivons plusieurs t'ois de suite par rapport a /// ; il vieil

j xHœdx = —(m + 1) -,

x™(lx)zdx = 1.2 (m 4- l) :;,

œto(lœ)v.dx = (— 1)p 1 . 2 ..p. (m | 1)-p '

2° Pour déduire de

d'autres au moyen de la différentiation sous le signe, introduisons un paramètre en remplaçant x par '. ><&>cpar— • 11 vient

Ç dx 1 x

, - = arc te; = ;

puis en intégrant entre les limites 0 et oo,

f°° cto " f00/ - , • , , ~ '

-■ — - - — p . ou (œ2 + *)1 ote = - / 2.

Jo .'"h/ >\ / Jo 2

Dérivons plusieurs fois de suite par rapport à / :

•oo