KO 3^ = i?5< h G c £ c
•oo
| o 1 . 2 ... (p - 1) ■ («t + *)-» dx - i g - W' ., ^ '
Si l'on l'ait £ = 1, la dernière égalité donne
f°° dx 1 .3 ... (2/3 — 3) -
Jo (^2 -f 1)p=: 2.Ï. . (2jà"— 2) 2'
résultat connu (4).
Pour démontrer que la règle (108) est applicable, observons
-oo ()y
dV
que | J„ dx a une valeur finie si Ton prend f(x, t) = (x2 | f)— n,
. o // étant entier et positif. En effet, si / > (), cette intégrale est
et les deux dernières intégrales sont finies.
qq2\\ |-4
dx
3° Si / est positif, -oo
e~lx dx
En dérivant (n — 1) fois de suite par rapport à /, on trouve
x"-1 e~tx dx = 1 .2 ... (>/ — l)/-"\ .' o
Pour / = 1 , on obtient
,-oo
xn~le-*dx = 1.2 . . In— 1).
Le premier membre de cette égalité est V intégrale eulérienne
de seconde espèce, appelée aussi fonction gamma et désignée par r(/ï). On a donc, pour toutes les valeurs entières et positives de n,
Il sera démontré (119) que V(n) a une valeur finie si n > 0.
/-OO
Comme le changement de a* en tx transforme T(n) en tn xn~'eixdx si t > 0, la dernière intégrale est également finie, et il en est de
fOO ()2f
même —~ dx qui a la môme forme ; on en conclut que la
J o dl2
règle de la dil'terentiation sous le signe est applicable (110).
4° On sait (22) que
dx
J o a2 cos2 x -h b2 sin2 « 2ai
si Ion dérive les deux membres par rapport à u ou b, il vient
pT* cos2 oo dx
Jo (a2 cos2 ic-f-62 sïnVa?)2 4a3l
si il2 se afo?
o (a2 cos2 # + ^2 sin* #)'2 <W>3 " d'où, par addition,
dx - (\ 1
(a2 cos2 o? H- £2 sin2 x)2 ~ Aah \a2 *~ b2
On pourrait opérer sur l'intégrale (2) comme sur l'intégrale 1 5° Considérons encore l'intégrale
OO o— tx o
sin as
qui a un sens, tant que t est positif; c'est ce que l'on voit en construisant la courbe (comparer 43, 2° et 109)
sin x
xe
ti
En admettant la règle (108) on trouv<
•oo J o
la construction de la courbe
du dt
'OO
e-txi
sin x dx :
sm a?
•>tX
montre encore que la nouvelle intégrale a un sens, et le même
raisonnement est applicable à ,,„ dx.
J o àtz
En intégrant successivement deux fois par parties on obtient
-oo i -oo
I e~tx sin x dx = e txcosa?flte
-OO
-OO
I cj~ x sin œ dx
t t Jo J
d'où, en transposant le dernier terme,
du 1
ih --1 + *-* " = -arctgt C.
L'expression (A) de il montre que u - 0 pour / ~ oo, car le facteur e n tend vers zéro pour f ^ oo; il en résulte
C = arc tg oo - - , et
u = - — arc tg t. ( B)
Si l'on fait tendre / vers zéro, on déduit de (B)
00 sin x ,
dx = o a? 2
113. Différentiation sous le signe d'une intégrale indéfinie.
— On peut poser, pour l'intégrale générale,
( f\x, t)dx = f* f(x, t)dx -f- »(/),
a étant un nombre donné quelconque et la constante arbitraire pouvant être une fonction arbitraire de t. Il en résulte
d I /'(x, t)dx rx r)f
àt J*dt ^ Y w
©'(f) étant une fonction arbitraire, cette égalité revient à
()\ f(x, t)dx r $f
<)t 1 ùt
dx -f- C.
Donc, la règle de la différentiation sous le signe est applicable à l intégrale indéfinie. Par exemple, de
xm+l , , xmdœ . -h C,
on conelul
, , xm+llx xm+l
xmlx dx = , - — 4- C,
Intégration sors le sk.nl.
