Soit

i f(x,y)dx,

y étant un paramètre, a et b des constantes indépendantes de y. Multiplions les deux membres de cette égalité par dy et intégrons ensuite entre les limites a et 3 ; nous aurons

udy = dy f(x,y)da\

Le second membre de cette équation représente le volume du solide limité par le plan xy, par les plans a* = a, x — b, y = a, V — P* et par la surface s = /'(a, y) (90). Les limites d'intégration étant fixes, on peut intervertir l'ordre des intégrations (91, II); donc

udy = doc f(x, y)dy.

De là la règle connue sous le nom d'intégration sous le signe :

Pour intégrer entre deux limites données une intégrale définie, par rapport à un paramètre entrant sous le signe, il suffit d'intégrer, entre les limites données, la quantité placée sous le signe.

Cette règle suppose que la fonction /ia, y) reste finie et bien déterminée entre les limites de l'intégration et que celles-ci sont finies.