Applications. — 1° On a

X™dx = ;

d'où dœ xmdm =

JO ja J « ?" + 1

2° Si a est un nombre positif, on a

e-^dx

— loi -

d'où 1 dx c **da = i

donc = l- •

Pour a = 1, on trouve

La démonstration précédente est insuffisante, car il n'est pas toujours permis de changer l'ordre des intégrations dans une intégrale double quand l'une des limites est infinie.

Pour vérifier la formule il ), posons

fX q— x g-|3x rX g-x /*X e - fjx

I = -rfa? — I doc — doc,

J OC i OC 1 ou

et cherchons la limite de 1 lorsque s tend vers zéro et que X augmente indéfiniment. La substitution ft.v ==y donne

■rxe-$* f?xe-y Ç?xe~*

dx *= di/ = dx ;

Je* J fie U J fi£ a;

d ou I = dx — dx.

Si l'on décompose les intervalles (s, X), (pe, |3X), on peut écrire :

■-ni -i -i =r-i •

Lorsque X varie de s à ps, c'x est compris entrée-* et e— P&; donc

efa? est comprise entre e-3 et<?-P8 ou entre e~U'p et

e~?s&; on peut donc la représenter par A£j3, A désignant un nombre

Jx ■'■

nombre compris entre e~~ x et e x ; par suite

Mais A tend vers l'unité lorsque s tend vers zéro, et 15 a pour limite 0 quand X croit indéfiniment. On a donc lim 1 = 1% ce qui démontre l'égalité (1),

3° Considérons les intégrales

C = | t,-ax cos bx doo, S = | e"ax tsin bx dx.

Si l'on intègre par parties en prenant du = e~a*dx. on trouve

e-axcos bx &Q ^ e axsin bx b ,

en résolvant ces deux équations par rapport à C et S, on obtient

e~a*(— a cos bx -{- h sin bx) e~a*(b cos bx -|- « sin foc)

~a*~+T*~ ' b - asi j p

On parvient aux mêmes valeurs en observant (/, 390) que