C -f tS = f c~ax(cos 6a? + i sin bx)dx = \ e axV)xl dx

gx(— a-f-ib)

— « + ïb '

= j ex|-a+ib> cfo =

remplaçant ex(a+bi par e-a*ebxi et multipliant les deux termes de la dernière fraction par — a — ib, on aura

(cos 6a: + * &m ^) (a + &) a2 4~ à

Si l'on effectue la multiplication indiquée, la partie réelle du second membre sera C : la partie imaginaire, /S.

Supposons a > 0. En intégrant de x = 0 à x = oo, on obtient

«OO -OO jj

I e~ax cos bx dx = --, rsj e ax sin èa? c&c — - , ■ . •

Jo a2-\-b2 J0 a24-62

L'intégration sous le signe par rapport aux paramètres a, b

fournit de nouvelles intégrales. Ainsi, la première intégrale

donne

fa f00 fa ada

da er ax cos bx dx =

Je Jo Jca24-o2

rb „ r°° , 7 rb «m» .

I db | e-ax cos oa? dx = \ - -, « Je Jo Jc«2f^8

puis en changeant Tordre des intégrations dans les premiers

membres :

eos //.'• aa; = -/ „

°°sin bx — sin ex , a(6 — c)

-C aK^.r = arc tg V , o a? "c!-f- oc

La seconde intégrale donne semblablemenl

Ç°°e-C* —e as . . b(a — c)

sm bx dx = arc tg ,

f °° cos ex — eos bx , 1 , 62 I a-

Jo # 2 r:2 j a2

L'intégration est permise. En effet, soit, par exemple, f(x, b) la quantité sons le dernier signe ( ; on peut différentiel- par

rapport à /> sons le signe /i.v, /;)(/,v parée que , dx a

une valeur finie, et Ton retombe sur l'intégrale d'où l'on était parti .

rx 2

Sur L INTEGRALE e~x da?.