Intégrale de Poisson. — On appelle ainsi l'intégrale

I = I e~ x dx,

bien qu'elle ait été déterminée antérieurement par Laplace. La

méthode que nous suivons ici est due pour le fond à Poisson, mais elle a été rendue pins rigoureuse par Cayley. I est la limite de l'intégrale

I = \ e-^dx

pour /• = oo. En remplaçant ,v par y, on a

I = P e-^dy,

d'où, en multipliant les deux égalités membre a membre.

I2 = | ' <r-*2 dx ( ' e-y2 dy=Ç Ce ^2 ■» >2 eto dy. (1 )

Soient maintenant trois axes rectangulaires OX. OY, OZ i/zg\ 3o). L'intégrale double (1) exprime le volume compris entre les trois plans coordonnés (positifs), les plans x = r, y = r parallèles aux plans YOZ, XOZ, et la surface z = c *- i /' ; ce volume est représenté par la figure OA-BCGA'B'C.

La surface qui limite supérieurement ce volume est de révolution autour de Taxe OX ; la méridienne considérée dans le plan zx a pour équation z = e~x , c'est une courbe G D'A' asympto tique de Taxe OX. Soit V le volume d'un cylindre vertical

Fis. 3o.

ODEGD'E' construit sur un quart de cercle ODE de rayon OE = R. et limité supérieurement par la surface z = e~'x2+y2). Eu employant les coordonnées semipolaires (95) on trouve

du e~r~rdr

Le volume (jui correspond à I2 est évidemment compris entre deux cylindres verticaux terminés à la surface z == ig-\xS+y2) et ayant respectivement pour base les quarts de cercle compris entre les axes OX, OY et les circonférences décrites du centre O avec les rayons OA = r et OB = n '2. On conclut de là

Les seconds membres de CjCS égalités, lorsque r croit indéfiniment, tendent vers la même limite ' ; par conséquent, lim I'2 = ■>

h m 1 = - i k ou enliu

■oo

Voici une démonstration plus rapide de ce résultat, si l'on change ix en a.v, on trouve

•oo

-/. ax

.Multiplions les deux membres de cette égalité pare *"'/-/ et intégrons ensuite entre « = 0 et % = oo; il vient

-oo

•oo

*oo

I (>-y.c(hx=\ e-*~d*\ e~*~*~adx,

-oo -oo [2 | (/y. J e-(l+ï2,a2 %(j.Xi

: u j o et en intervertissant l'ordre îles deux intégrations

-oo -oo