V. y = 3 cotg x I cotg

, 3 3 cotg2 .'• 3

sin- x sin- x sin4 x

Fonctions circulaires inverses.

60. Le sinus d'un arc est une fonction de cet arc. Réciproquement, Tare est une l'onction du sinus, que l'on désigne par la notation arc sin x (arc dont le sinus est x). Prenons sur BB' (fi g. 3) une longueur OQ .y, et menons par Q une parallèle MM' à VA'; arc sin x est l'un quelconque des arcs ayant pour origine A et pour extrémité M ou M'. Tous ces arcs sont compris dans les deux expressions 2n- -\- a, (2n -f- 1 j- - a, n désignant un nombre entier arbitraire, positif, négatif ou nul. On a supposé x positif ; s'il était négatif, ou prendrait sur OH' une longueur OQ' mesurée par | x | , etc.

On peut toujours trouver un arc compris entre — . et vy

ayant au sinus donné .y, pourvu que j x I < 1 : cet arc est appelé la valeur principale de arc sin .y.

Si .y OP, arc cos .y désigne l'un quelconque des arcs ayant leur origine en A et terminés en M ou en M'"; ces arcs sont compris dans la formule 2n~ ± a. Si x est négatif, on prend OP' = | x | , et arc cos .y est l'un quelconque des arcs commençant en A et terminés en M' ou M". La valeur principale de arc cos x est celle qui est comprise entre 0 et -.

Enfin, arc tg .y désigne l'un quelconque des arcs ayant pour tangente .y; ces arcs sont compris dans la formule n~ \r 2. La valeur principale de arc tg x est celle qui est comprise entre

A une identité entre les fonctions circulaires directes correspond une identité entre les fonctions inverses. Voici quelquesunes des nouvelles formules, mises en regard de celles dont elles se déduisent :

sin x = V'i -- cos2 a. arc cos x — are sin \ 1 x2. (*)

si n a x ......

t,<r a = = ) arc sin x — arc tg • (• •)

V'l sin- a V 1 I x~

ta* a

sin a — - ' arc \u: x == arc sin

\/i 4-tg8« Vl 4-^2

| sin (a -{- 3i - sin a cos (3 -J- sin 3 cos a,

) arc sin x |- arc sin y = arc sin (a?V 1 — //'' i // V 1 — •'''-.

(tg(«4-3) = *S.1±M • 8^ ' 1-tga-^tgP

| arc tg a? H arc tg y == arc tg \ __VCI/' (***)

.vv/

sin 2* - 2 sin a cos a, 2 arc sin a? « arc sin (2a? Vl — ,JC i* 61. Dérivée de arc sin x. — Soit y arc sin x; d'où

a? = sin y. (1)

Dérivons les deux membres de 1 1 par rapport à .v ; il vient

1 = cos y . y\ ou v' = -

1 " ' cos//

Mais sin y étant égal à .v, on a cos y -= ± Vl — -v' ; donc d arc sin .'■ 1

La dérivée de arc sin .v est donc égale à ; si on l'exprime

cos y

en fonction de x, le radical \'l — x2 a le signe de cos y, et ce

i*) La formule sin a = \ 1 — cos'2 a équivaut à a = arc sin \ 1 — cos- y. ; d'où, en posant eos a = x, are cos .v = are sin \ 1 — a--.

(**") On pose sin z — x, etc.

'" Ces formules exigent des restrictions, si l'on ne considère (pie les valeurs principales des lignes inverses. Ainsi, lorsque x y > 1, le second

membre de la dernière formule est arc 1 g ,' ' } -, le si^ne de r étant

' 1 - xy celui de x et y.

signe est \- ou — suivant que arc sin .v est terminé en M ou M' si x > 0, en M" ou eu M'" si .y < 0.

Si on ne considère que la valeur principale de arc sin .y, cos y

est positif; dans ce cas,

d arc sin x 1 d are sin ?6 y)

dx "V1"- -^2' '/'/' \ 1 — "2"

62. Dérivée de arc cos .v. De y arc cos x on tire .y cos y : puis, en dérivant les deux membres par l'apport à .y :

1 = — sin y . y , ou y ' = — . -— = - •

' ' sin?/ ±\/l— x~

La dérivée de are cos .y est donc égale à — . • Si on l'ex-

sm y

prime en l'onction de .y, le radical \ 1 — .y2 a le signe de sin y. Si on ne considère que la valeur principale de arc cos a', sin y est positif, et

<l arc cos x 1 d arc cos u u'

dX \ 1 ri '/'''

63. Dérivée de arc tg .v. De y = arc tg a- on tire a = tgy; puis, en prenant les dérivées des deux membres :

1 = , » d'où y = cos- ?/ = -

COS-// '7 • 1 -f ,r~

Ainsi

r/ arc tg x 1 #arc tg u >>'

dx 1 -j- x% dx 1 -j-- w2