Définition de r(/i). — L'intégrale

\°°e-xxn ] dx (1)

dont la valeur dépend du nombre/?, est appelée intégrale eulèrienne de seconde espèce ou fonction gamma ; on la désigne par r(n).

L'intégrale (l) a une valeur finie si n est positif, une valeur infinie si n est nul ou négatif.

Soit d'abord n > 0. V(n) est la limite de la somme des intégrales

U fV V ldx, Y - = (,fe-*Bn-,ûkB (2)

pour £ = 0, X oo. Or, dans l'intervalle (s, 1>, e x 1 ; done

fl fl 1 :D

rxa,n-1rfa;< 1 xn~l dx = Je J £ "

D'autre part, de ex = 1 -f- -. -f- ■■- --- + •••'» oii conclut, si .v > 0:

ex > - » e x < p ! A' !'; par suite, 0 désignant un nombre compris entre 0 et 1,